Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\cos (\cos (\cos x))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\cos\bigl(\cos(\cos x)\bigr)
e pede f'(x). O conteúdo é derivada de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar, defina
h(x)=\cos x, \quad g(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)=\cos(\cos x),
de modo que
f(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=-\sin\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot g'(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas auxiliares. Primeiro,
h'(x)=-\sin x.
Em seguida,
g'(x)=-\sin\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot h'(x) =-\sin(\cos x)\,\bigl(-\sin x\bigr) =\sin(\cos x)\,\sin x.

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x),
f'(x) =-\sin\bigl(\cos(\cos x)\bigr)\,\bigl(\sin(\cos x)\,\sin x\bigr) =-\sin x\,\sin(\cos x)\,\sin\bigl(\cos(\cos x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-\sin x\,\sin(\cos x)\,\sin\bigl(\cos(\cos x)\bigr)

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