Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=x^{3} \operatorname{sen}\left(e^{\ln x-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{3}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{\ln x - x^{3}}\bigr).
O conteúdo principal aqui é usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos escrever
u(x)=x^{3} \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{sen}\bigl(E(x)\bigr),
onde
E(x)=e^{\ln x - x^{3}}.
Aplicando a regra do produto, teremos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Primeiro calculemos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 3

Agora derivamos
v(x)=\operatorname{sen}\bigl(E(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
v'(x)=\cos\bigl(E(x)\bigr)\,\cdot E'(x).

Passo 4

Falta achar
E'(x)\quad\text{com}\quad E(x)=e^{A(x)},\quad A(x)=\ln x - x^{3}.
Temos
A'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)-\frac{d}{dx}(x^{3}) =\frac{1}{x}-3x^{2},
e então, pela cadeia,
E'(x)=e^{A(x)}\cdot A'(x) =e^{\ln x - x^{3}}\Bigl(\frac{1}{x}-3x^{2}\Bigr).

Passo 5

Substituindo tudo em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
obtemos
f'(x) =3x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{\ln x - x^{3}}\bigr) + x^{3}\,\cos\bigl(e^{\ln x - x^{3}}\bigr)\, \biggl[e^{\ln x - x^{3}}\Bigl(\frac{1}{x}-3x^{2}\Bigr)\biggr].

Passo 6

Podemos notar que
e^{\ln x - x^{3}}=x\,e^{-x^{3}},
mas a forma acima já expressa claramente a aplicação das regras.

Resposta

f'(x) =3x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{\ln x - x^{3}}\bigr) + x^{3}\,\cos\bigl(e^{\ln x - x^{3}}\bigr)\, e^{\ln x - x^{3}}\Bigl(\tfrac{1}{x}-3x^{2}\Bigr).

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