Exercício 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\tan \left(\log _{3} x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\tan\bigl(\log_{3}x\bigr). Para isso vamos usar a regra da cadeia, sabendo que a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^2(u) e que \displaystyle\frac{d}{dx}\log_{3}x=\frac{1}{x\ln 3}.

Passo 2

Defina u(x)=\log_{3}x e v(u)=\tan(u). Então f(x)=v\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\operatorname{sec}^2\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Como \log_{3}x=\dfrac{\ln x}{\ln 3}, tem-se
u'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{\ln x}{\ln 3}\Bigr) =\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln 3}.

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}^2\bigl(\log_{3}x\bigr)\,\frac{1}{x\,\ln 3} =\frac{\operatorname{sec}^2\bigl(\log_{3}x\bigr)}{x\,\ln 3}.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2\bigl(\log_{3}x\bigr)}{x\,\ln 3}.

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