Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
F:] 2,+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right. dada por F(x)=\int_{x}^{2} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função F definida em (2,+\infty) por
F(x)=\int_{x}^{2} \cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é t\mapsto \cos\bigl(t^{2}\bigr).
  • O limite superior da integral é a constante 2.
  • O limite inferior é a variável x, que varia em (2,+\infty).
  • A integral é bem definida porque t\mapsto \cos\bigl(t^{2}\bigr) é contínua em \mathbb{R}.

Passo 2

Vou lembrar um resultado essencial (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática) que vamos usar e explicar por que ele vale.
Se f é contínua em um intervalo e definimos
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então a derivada de G é
G'(x)=f(x).
Intuição simples: ao aumentar x em uma pequena quantidade \Delta x, a integral aumenta aproximadamente por f(x)\Delta x; dividindo por \Delta x e passando ao limite obtém-se f(x).
Também existe a regra quando os limites dependem de x: se h(x) e k(x) são diferenciáveis e f é contínua, então
\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{k(x)} f(t)\,dt = f\bigl(k(x)\bigr)\,k'(x) - f\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
No caso mais simples em que o limite superior é uma função g(x) e o inferior é constante a, tem-se
\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt = f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
No caso em que o limite inferior é h(x) e o superior é constante b, a regra dá
\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{b} f(t)\,dt = -f\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
Essas fórmulas vêm da combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso problema: a integral tem limite superior constante 2 e limite inferior variável x. Podemos reescrever F invertendo os limites (lembrando que trocar os limites muda o sinal):
F(x)=\int_{x}^{2} \cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = -\int_{2}^{x} \cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Defina
H(x)=\int_{2}^{x} \cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como a integranda é contínua,
H'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Como F(x)=-H(x), derivando obtemos pela regra da derivada de uma constante multiplicada:
F'(x) = -H'(x).
Substituindo H'(x) obtido acima,
F'(x) = -\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Verificação rápida e dicas para a prova:
  • A regra geral que usei foi a do limite inferior variável. Em uma questão parecida, se o limite variável estivesse em cima, por exemplo \int_{0}^{x}, a derivada seria positiva do integrando avaliado em x.
  • Se o limite variável fosse uma função g(x), por exemplo \int_{0}^{g(x)} \cos(t^{2})\,dt, então a derivada seria \cos\bigl(g(x)^{2}\bigr)\,g'(x) (regra da cadeia).
  • Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\int_{x}^{3}\sin t\,dt = -\sin x. Mesmo padrão do problema aqui.
Força aí — a ideia principal é sempre identificar se o limite variável está em cima (resultado positivo) ou embaixo (resultado negativo) e aplicar a regra da cadeia se o limite for uma função de x.

Resposta

F'(x)=-\cos\bigl(x^{2}\bigr)

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