Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
definida em
por
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
. - O limite superior da integral é a constante
. - O limite inferior é a variável
, que varia em . - A integral é bem definida porque
é contínua em .
Passo 2
Vou lembrar um resultado essencial (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática) que vamos usar e explicar por que ele vale.
Se
é contínua em um intervalo e definimos
então a derivada de
é
Intuição simples: ao aumentar
em uma pequena quantidade
, a integral aumenta aproximadamente por
; dividindo por
e passando ao limite obtém-se
.
Também existe a regra quando os limites dependem de
: se
e
são diferenciáveis e
é contínua, então
No caso mais simples em que o limite superior é uma função
e o inferior é constante
, tem-se
No caso em que o limite inferior é
e o superior é constante
, a regra dá
Essas fórmulas vêm da combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso problema: a integral tem limite superior constante
e limite inferior variável
. Podemos reescrever
invertendo os limites (lembrando que trocar os limites muda o sinal):
Defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como a integranda é contínua,
Passo 4
Como
, derivando obtemos pela regra da derivada de uma constante multiplicada:
Substituindo
obtido acima,
Passo 5
Verificação rápida e dicas para a prova:
- A regra geral que usei foi a do limite inferior variável. Em uma questão parecida, se o limite variável estivesse em cima, por exemplo
, a derivada seria positiva do integrando avaliado em . - Se o limite variável fosse uma função
, por exemplo , então a derivada seria (regra da cadeia). - Exemplo rápido:
. Mesmo padrão do problema aqui.
Força aí — a ideia principal é sempre identificar se o limite variável está em cima (resultado positivo) ou embaixo (resultado negativo) e aplicar a regra da cadeia se o limite for uma função de
.