Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
dada por
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A função dada é
definida por
- Informação importante extraída do enunciado:
- O integrando (função dentro da integral) é
. - O limite inferior da integral é dependente de
: . - O limite superior é constante:
.
- O integrando (função dentro da integral) é
- O que o enunciado pede: calcular a derivada
para .
Passo 2
Uma simplificação útil antes de derivar: trocar os limites da integral usando a propriedade básica das integrais definidas.
A propriedade é: para quaisquer números e
,
A propriedade é: para quaisquer números
Aplicando com
e
temos
Isso deixa a integral com limite superior dependente de
, que é a forma mais direta para aplicar o teorema que iremos usar.
Passo 3
Vou explicar a regra que usamos para derivar uma integral com limite variável (a explicação deve ser bem clara):
- Seja
uma função contínua e seja uma função diferenciável. Defina
- Defina também a função auxiliar
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, é diferenciável e
- Como
, pela regra da cadeia (chain rule) para derivação,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função integrando, função de . -
é o limite superior que depende de . -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada da integral composta. - Em palavras: a derivada de
é multiplicado pela taxa de variação .
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema:
- Definimos
. Pelo passo anterior,
- Calculamos a derivada de
usando a regra da cadeia: seja com . Então
- Logo
Passo 5
Lembrando do passo 2 que
. Assim, a derivada de
é
Podemos verificar rapidamente um caso particular para ganhar confiança: em
a fórmula dá
, o que faz sentido pela presença do fator
.
Passo 6
Exemplo rápido e didático para fixar a ideia (sem relação com o enunciado, só para treino):
- Se
, então pela mesma regra
Isso mostra o mesmo padrão: avaliar o integrando no limite variável e multiplicar pela derivada desse limite.