Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por F(x)=\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos ^{2}(t) d t

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é \displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
F(x)=\int_{e^{x^{2}}}^{0}\cos^{2}(t)\,dt.
  • Informação importante extraída do enunciado:
    • O integrando (função dentro da integral) é t\mapsto \cos^{2}(t).
    • O limite inferior da integral é dependente de x: a(x)=e^{x^{2}}.
    • O limite superior é constante: b(x)=0.
  • O que o enunciado pede: calcular a derivada F'(x) para x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Uma simplificação útil antes de derivar: trocar os limites da integral usando a propriedade básica das integrais definidas.
A propriedade é: para quaisquer números A e B,
\int_{A}^{B} f(t)\,dt = -\int_{B}^{A} f(t)\,dt.
Aplicando com A=e^{x^{2}} e B=0 temos
F(x)=\int_{e^{x^{2}}}^{0}\cos^{2}(t)\,dt = -\int_{0}^{e^{x^{2}}}\cos^{2}(t)\,dt.
Isso deixa a integral com limite superior dependente de x, que é a forma mais direta para aplicar o teorema que iremos usar.

Passo 3

Vou explicar a regra que usamos para derivar uma integral com limite variável (a explicação deve ser bem clara):
  • Seja f uma função contínua e seja u(x) uma função diferenciável. Defina
H(x)=\int_{0}^{u(x)} f(t)\,dt.
  • Defina também a função auxiliar G(s)=\int_{0}^{s} f(t)\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, G é diferenciável e
G'(s)=f(s).
  • Como H(x)=G(u(x)), pela regra da cadeia (chain rule) para derivação,
H'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • f(t) é a função integrando, função de t.
  • u(x) é o limite superior que depende de x.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • H'(x) é a derivada da integral composta.
  • Em palavras: a derivada de \int_{0}^{u(x)} f(t)\,dt é f(u(x)) multiplicado pela taxa de variação u'(x).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
  • Definimos H(x)=\int_{0}^{e^{x^{2}}}\cos^{2}(t)\,dt. Pelo passo anterior,
H'(x)=\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big).
  • Calculamos a derivada de u(x)=e^{x^{2}} usando a regra da cadeia: seja u(x)=e^{v(x)} com v(x)=x^{2}. Então
\frac{d}{dx}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x e^{x^{2}}.
  • Logo
H'(x)=\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)\cdot 2x e^{x^{2}} = 2x e^{x^{2}}\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big).

Passo 5

Lembrando do passo 2 que F(x)=-H(x). Assim, a derivada de F é
F'(x) = -H'(x) = -2x e^{x^{2}}\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big).
Podemos verificar rapidamente um caso particular para ganhar confiança: em x=0 a fórmula dá F'(0) = -2\cdot 0 \cdot e^{0}\cos^{2}(e^{0})=0, o que faz sentido pela presença do fator 2x.

Passo 6

Exemplo rápido e didático para fixar a ideia (sem relação com o enunciado, só para treino):
  • Se G(x)=\int_{1}^{x^{3}}\sin(t)\,dt, então pela mesma regra
G'(x)=\sin(x^{3})\cdot \frac{d}{dx}(x^{3})=\sin(x^{3})\cdot 3x^{2}=3x^{2}\sin(x^{3}).
Isso mostra o mesmo padrão: avaliar o integrando no limite variável e multiplicar pela derivada desse limite.

Resposta

F'(x)=-2x e^{x^{2}}\cos^{2}\big(e^{x^{2}}\big)

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