Quest6co 36

Pontos de tangência sáo artifícios muito utilizados em manobras de praticagem, para que seja possível determinar a máxima trajetória que os navios podem fazer e considerar o espaço ideal para fazer essa atividade.
Em um simulador de praticagem, considerou-se a trajetória sendo igual a cônica:
x^{2}+2 x y+y^{2}-4 x-2 y+1=0
que está no plano cartesiano de centro O. T (xo,yo) é o ponto de tangência dessa cônica. E que a reta tangente é paralela a reta
x+2 y-3=0.
Considere ainda os pontos \mathrm{P}=(1,2) e \mathrm{Q}=\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{p}}+1, \mathrm{x}_{\mathrm{p}}\right\} A manobra deveria o ocorrer entre os seguintes pontos O,T,P,Q
Qual a área do quadrilátero OTPQ que descreve o espaço no qual se destina a máxima área que os navios podem simular?
20.00%
A 2 u.a.
10717
B 2,5 U.G
00.59%
C 3 u.c.
3.25
D 3,5 U.G
17.78%
E 4 U.CI

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A cônica (curva implícita) é dada por
x^{2}+2xy+y^{2}-4x-2y+1=0.
  • Diz-se que T=(x_0,y_0) é ponto de tangência dessa cônica e que a reta tangente em T é paralela à reta
x+2y-3=0.
  • O ponto P é P=(1,2).
  • O ponto Q é dado por Q=(y_P+1,\;x_P). Como P=(1,2), então x_P=1 e y_P=2, logo
Q=(2+1,\;1)=(3,1).
  • O é o centro do sistema cartesiano, ou seja O=(0,0).
O enunciado pergunta qual é a área do quadrilátero O,T,P,Q (ou seja, a área da região usada na manobra entre esses pontos). Vou determinar T usando a condição de paralelismo da tangente e, em seguida, calcular a área apropriada usando as coordenadas O,T,P,Q. A partir daí vou justificar qual é a região de maior área entre essas possibilidades (explico porque isso importa).

Passo 2

Entender geometricamente a condição "reta tangente em T paralela a x+2y-3=0".
  • Para uma curva implícita F(x,y)=0, o vetor gradiente
\nabla F(x,y) = \bigl(F_x(x,y),\;F_y(x,y)\bigr)
é normal à curva no ponto (x,y). Em outras palavras, o gradiente é um vetor normal à reta tangente naquele ponto.
  • A reta dada x+2y-3=0 tem vetor normal (1,2). Se a tangente em T é paralela a essa reta, então o gradiente \nabla F em T deve ser paralelo a (1,2).
Vou calcular \nabla F para a cônica.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}-4x-2y+1.
  • F_x = \dfrac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2y - 4.
    Explicando: derivando termo a termo, de x^2 vem 2x, de 2xy vem 2y, de -4x vem -4, os outros termos não dependem de x.
  • F_y = \dfrac{\partial F}{\partial y} = 2x + 2y - 2.
    Explicando: de 2xy vem 2x, de y^2 vem 2y, de -2y vem -2.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y) = \bigl(2x+2y-4,\;2x+2y-2\bigr).

Passo 4

Impor que \nabla F(x_0,y_0) é paralelo a (1,2).
Ser paralelo significa que existem \mu\in\mathbb{R} tal que
\bigl(2x_0+2y_0-4,\;2x_0+2y_0-2\bigr) = \mu\,(1,2).
Isto dá duas equações:
2x_0+2y_0-4 = \mu,\qquad 2x_0+2y_0-2 = 2\mu.
Subtraindo a primeira equação da segunda (ou usando a relação direta), obtemos:
(2x_0+2y_0-2) - (2x_0+2y_0-4) = 2\mu - \mu \quad\Rightarrow\quad 2 = \mu.
Substituindo \mu=2 em 2x_0+2y_0-4=\mu
2x_0+2y_0-4=2 \quad\Rightarrow\quad 2x_0+2y_0=6 \quad\Rightarrow\quad x_0+y_0=3.
Portanto o ponto de tangência T satisfaz a reta x+y=3 além de pertencer à cônica.

Passo 5

Encontrar T resolvendo o sistema formado pela cônica e pela reta x+y=3.
Substitua y=3-x na equação da cônica:
x^{2}+2x(3-x)+(3-x)^{2}-4x-2(3-x)+1=0.
Desenvolvendo passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
  • 2x(3-x)=6x-2x^{2}.
  • (3-x)^{2}=9-6x+x^{2}.
  • -2(3-x)=-6+2x.
Somando todos os termos:
x^{2} + (6x-2x^{2}) + (9-6x+x^{2}) -4x + (-6+2x) +1 = 0.
Agrupando semelhantes:
  • Termos em x^{2}: x^{2}-2x^{2}+x^{2}=0.
  • Termos em x: 6x-6x-4x+2x = -2x.
  • Constantes: 9-6+1 =4.
Assim resta
-2x + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então y=3-x=1. Portanto
T=(2,1).
(Farei uma checagem rápida: o gradiente em T é (2x+2y-4,2x+2y-2)=(2,4), que é proporcional a (1,2), confirmado.)

Passo 6

Listar as coordenadas finais que usaremos:
O=(0,0),\quad T=(2,1),\quad P=(1,2),\quad Q=(3,1).
Antes de calcular alguma “área do quadrilátero”, é importante pensar na geometria: os pontos O,P,Q formam um triângulo; o ponto T está dentro desse triângulo? Vamos verificar, porque se T está estritamente interior ao triângulo OPQ, então não existe um quadrilátero simples cujo contorno seja formado pelos quatro pontos (qualquer quadrilátero usando esses quatro pontos será auto-intersectante), e a região máxima ocupada pelos quatro pontos será justamente a área do triângulo formado pelos três pontos exteriores O,P,Q. Essa observação é relevante para interpretar “espaço no qual se destina a máxima área”.

Passo 7

Verificar se T está dentro do triângulo OPQ. Uma maneira simples é comparar áreas: se a soma das áreas dos triângulos OQT, OTP e TPQ for igual à área do triângulo OPQ e todas essas áreas parciais forem positivas, então T está dentro.
Calcule a área do triângulo OPQ (fórmula do polígono / shoelace). Para um triângulo com vértices A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3), a área é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)\right|.Á
Aplicando a O(0,0),P(1,2),Q(3,1):
  • Soma direta: 0\cdot2 + 1\cdot1 + 3\cdot0 = 0+1+0=1.
  • Soma reversa: 0\cdot1 + 2\cdot3 + 1\cdot0 = 0+6+0=6.
  • Diferença: 1-6=-5. Portanto
\text{Área}(OPQ)=\tfrac{1}{2}|-5|=\tfrac{5}{2}=2{,}5.Á
Agora calcule as áreas parciais com T=(2,1).
Área O T P com O(0,0),T(2,1),P(1,2):
  • Soma direta: 0\cdot1 + 2\cdot2 + 1\cdot0 = 0+4+0=4.
  • Soma reversa: 0\cdot2 + 1\cdot1 + 2\cdot0 = 0+1+0=1.
  • Diferença: 4-1=3. Área = \tfrac{1}{2}\cdot3 = 1{,}5.
Área T Q P com T(2,1),Q(3,1),P(1,2):
  • Soma direta: 2\cdot1 + 3\cdot2 + 1\cdot1 = 2+6+1=9.
  • Soma reversa: 1\cdot3 + 1\cdot1 + 2\cdot2 = 3+1+4=8.
  • Diferença: 9-8=1. Área = \tfrac{1}{2}\cdot1 = 0{,}5.
Área O Q T with O(0,0),Q(3,1),T(2,1):
  • Soma direta: 0\cdot1 + 3\cdot1 + 2\cdot0 = 0+3+0=3.
  • Soma reversa: 0\cdot3 + 1\cdot2 + 1\cdot0 = 0+2+0=2.
  • Diferença: 3-2=1. Área = \tfrac{1}{2}\cdot1 = 0{,}5.
Somando as áreas parciais:
1{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 2{,}5 = \text{Área}(OPQ).Á
Como todas as áreas parciais são positivas e somam exatamente a área do triângulo OPQ, concluímos que T está estritamente dentro do triângulo OPQ.

Passo 8

Interpretação geométrica e escolha da região de “máxima área”.
  • Como T está dentro do triângulo formado por O,P,Q, não é possível formar um quadrilátero convexo cujo contorno passe pelos quatro pontos (qualquer quadrilátero que liste os quatro pontos em volta será necessariamente auto-intersectante ou terá T no interior).
  • A região de maior área "entre os pontos O,T,P,Q" — interpretada como a área disponível para a manobra usando esses pontos — é a área do triângulo convexo que contém os pontos extremos, isto é, o triângulo OPQ. Esse triângulo tem área 2{,}5 (unidades de área).
  • Por isso a "área do quadrilátero O,T,P,Q" no sentido da maior região ocupável será 2{,}5 u.a. (equivalente à alternativa que corresponde a 2{,}5).
(Observação: se alguém construísse um polígono com vértices exatamente na ordem O,T,P,Q receberia um polígono auto-intersectante cuja área algébrica pela fórmula do polígono daria outro valor, mas esse polígono não contém a região máxima; tipicamente, para representar a área de manobra máxima entre esses quatro pontos, toma-se o fecho convexo, cujo limite é o triângulo OPQ.)

Passo 9

Calcular explicitamente a área do triângulo OPQ novamente (síntese final do cálculo) usando shoelace para ficar claro o resultado:
Com O(0,0),P(1,2),Q(3,1):
\text{Área}(OPQ)=\tfrac{1}{2}\left|0\cdot2 + 1\cdot1 + 3\cdot0 - (0\cdot1 + 2\cdot3 + 1\cdot0)\right| =\tfrac{1}{2}|1-6|=\tfrac{5}{2}=2{,}5.Á

Resposta

2,5

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