Quest6co 36
Pontos de tangência sáo artifícios muito utilizados em manobras de praticagem, para que seja possível determinar a máxima trajetória que os navios podem fazer e considerar o espaço ideal para fazer essa atividade.
Em um simulador de praticagem, considerou-se a trajetória sendo igual a cônica:
que está no plano cartesiano de centro O. T (xo,yo) é o ponto de tangência dessa cônica. E que a reta tangente é paralela a reta
.
Considere ainda os pontos
e
A manobra deveria o ocorrer entre os seguintes pontos O,T,P,Q
Qual a área do quadrilátero OTPQ que descreve o espaço no qual se destina a máxima área que os navios podem simular?
20.00%
A
2 u.a.
10717
B
2,5 U.G
00.59%
C
3 u.c.
3.25
D
3,5 U.G
17.78%
E
4 U.CI
Em um simulador de praticagem, considerou-se a trajetória sendo igual a cônica:
| 20.00% | |
| A | 2 u.a. |
| 10717 | |
| B | 2,5 U.G |
| 00.59% | |
| C | 3 u.c. |
| 3.25 | |
| D | 3,5 U.G |
| 17.78% | |
| E | 4 U.CI |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A cônica (curva implícita) é dada por
- Diz-se que
é ponto de tangência dessa cônica e que a reta tangente em é paralela à reta
- O ponto
é . - O ponto
é dado por . Como , então e , logo
-
é o centro do sistema cartesiano, ou seja .
O enunciado pergunta qual é a área do quadrilátero
(ou seja, a área da região usada na manobra entre esses pontos). Vou determinar
usando a condição de paralelismo da tangente e, em seguida, calcular a área apropriada usando as coordenadas
. A partir daí vou justificar qual é a região de maior área entre essas possibilidades (explico porque isso importa).
Passo 2
Entender geometricamente a condição "reta tangente em
paralela a
".
- Para uma curva implícita
, o vetor gradiente
é normal à curva no ponto
. Em outras palavras, o gradiente é um vetor normal à reta tangente naquele ponto.
- A reta dada
tem vetor normal . Se a tangente em é paralela a essa reta, então o gradiente em deve ser paralelo a .
Vou calcular
para a cônica.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
-
Explicando: derivando termo a termo, devem , de vem , de vem , os outros termos não dependem de . -
Explicando: devem , de vem , de vem .
Logo o gradiente é
Passo 4
Impor que
é paralelo a
.
Ser paralelo significa que existem
tal que
Isto dá duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda (ou usando a relação direta), obtemos:
Substituindo
em
dá
Portanto o ponto de tangência
satisfaz a reta
além de pertencer à cônica.
Passo 5
Encontrar
resolvendo o sistema formado pela cônica e pela reta
.
Substitua
na equação da cônica:
Desenvolvendo passo a passo (para poder fazer sem calculadora):
Somando todos os termos:
Agrupando semelhantes:
- Termos em
: - Termos em
: - Constantes:
Assim resta
Então
. Portanto
(Farei uma checagem rápida: o gradiente em
é
, que é proporcional a
, confirmado.)
Passo 6
Listar as coordenadas finais que usaremos:
Antes de calcular alguma “área do quadrilátero”, é importante pensar na geometria: os pontos
formam um triângulo; o ponto
está dentro desse triângulo? Vamos verificar, porque se
está estritamente interior ao triângulo
, então não existe um quadrilátero simples cujo contorno seja formado pelos quatro pontos (qualquer quadrilátero usando esses quatro pontos será auto-intersectante), e a região máxima ocupada pelos quatro pontos será justamente a área do triângulo formado pelos três pontos exteriores
. Essa observação é relevante para interpretar “espaço no qual se destina a máxima área”.
Passo 7
Verificar se
está dentro do triângulo
. Uma maneira simples é comparar áreas: se a soma das áreas dos triângulos
,
e
for igual à área do triângulo
e todas essas áreas parciais forem positivas, então
está dentro.
Calcule a área do triângulo
(fórmula do polígono / shoelace). Para um triângulo com vértices
, a área é
Aplicando a
:
- Soma direta:
- Soma reversa:
- Diferença:
. Portanto
Agora calcule as áreas parciais com
.
Área
com
:
- Soma direta:
- Soma reversa:
- Diferença:
. Área
Área
com
:
- Soma direta:
- Soma reversa:
- Diferença:
. Área
Área
with
:
- Soma direta:
- Soma reversa:
- Diferença:
. Área
Somando as áreas parciais:
Como todas as áreas parciais são positivas e somam exatamente a área do triângulo
, concluímos que
está estritamente dentro do triângulo
.
Passo 8
Interpretação geométrica e escolha da região de “máxima área”.
- Como
está dentro do triângulo formado por , não é possível formar um quadrilátero convexo cujo contorno passe pelos quatro pontos (qualquer quadrilátero que liste os quatro pontos em volta será necessariamente auto-intersectante ou terá no interior). - A região de maior área "entre os pontos
" — interpretada como a área disponível para a manobra usando esses pontos — é a área do triângulo convexo que contém os pontos extremos, isto é, o triângulo . Esse triângulo tem área (unidades de área). - Por isso a "área do quadrilátero
" no sentido da maior região ocupável será u.a. (equivalente à alternativa que corresponde a ).
(Observação: se alguém construísse um polígono com vértices exatamente na ordem
receberia um polígono auto-intersectante cuja área algébrica pela fórmula do polígono daria outro valor, mas esse polígono não contém a região máxima; tipicamente, para representar a área de manobra máxima entre esses quatro pontos, toma-se o fecho convexo, cujo limite é o triângulo
.)
Passo 9
Calcular explicitamente a área do triângulo
novamente (síntese final do cálculo) usando shoelace para ficar claro o resultado:
Com
:
Resposta
2,5