Exercício 2: Calcule os determinantes das seguintes matrizes e, quando cabível, as respectivas inversas.
A_{3}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 4 \\\\ 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 3 & 2 & 6 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 9\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 4\\[4pt] 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 2 & 6 & 3\\[4pt] 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • Calcular o determinante de A_{3}.
  • Se couber (ou seja, se A_{3} for invertível), calcular A_{3}^{-1}.
Vou usar eliminação por linhas (método do escalonamento) para obter informação sobre o determinante e, em seguida, comentar sobre a inversa. Antes de começar, é importante lembrar algumas propriedades que vou usar.]

Passo 2

Relembrando propriedades úteis (matemática do dia, explicada devagar):
  • Adicionar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolos: se L_i \leftarrow L_i + c L_j então \det não muda.
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Se durante o escalonamento aparecerem duas linhas proporcionais (ou iguais), isso significa que as linhas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Alternativamente, se a matriz não puder ser reduzida a uma matriz triangular com todos os pivôs não nulos (i.e., posto inferior que 4 para matriz 4\times4), o determinante será zero.
  • Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Vou então fazer operações de linha que não alteram o determinante (adições de múltiplos de linhas) para tornar evidente se o determinante é zero ou não.

Passo 3

Começo aplicando operações com pivot na primeira coluna (uso L_i para linha i):
Operações feitas:
L_2 \leftarrow L_2 - L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1,\qquad L_4 \text{ permanece.}
Calculando:
  • L_2 = (1,0,2,-1) - (1,2,2,4) = (0,-2,0,-5).
  • L_3 = (3,2,6,3) - 3(1,2,2,4) = (3,2,6,3) - (3,6,6,12) = (0,-4,0,-9).
  • L_4 = (0,4,0,9).
A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & -4 & 0 & -9\\[4pt] 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix}.
Observação: essas operações foram do tipo L_i \leftarrow L_i + cL_j, então o determinante não foi alterado.]

Passo 4

Agora uso o segundo pivô na posição (2,2), que vale -2. Elimino os elementos abaixo dele na coluna 2:
Operações:
L_3 \leftarrow L_3 - 2 L_2,\qquad L_4 \leftarrow L_4 + 2 L_2.
Cálculos:
  • L_3 = (0,-4,0,-9) - 2(0,-2,0,-5) = (0,-4,0,-9) - (0,-4,0,-10) = (0,0,0,1).
  • L_4 = (0,4,0,9) + 2(0,-2,0,-5) = (0,4,0,9) + (0,-4,0,-10) = (0,0,0,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Novamente, as operações foram adicionares de múltiplos de linhas, portanto o determinante permanece o mesmo que o de A_{3}.]

Passo 5

Agora observe atentamente as duas últimas linhas:
L_3 = (0,0,0,1),\qquad L_4 = (0,0,0,-1).
Essas duas linhas são proporcionais: L_3 = -\,L_4. Quando duas linhas de uma matriz são proporcionais (ou iguais), as linhas são linearmente dependentes e o determinante da matriz é zero. Esse é um fato direto sobre determinantes: det = 0 se as linhas (ou colunas) não são linearmente independentes.
Como chegamos a essa forma apenas com operações que não alteram o valor do determinante, concluímos que o determinante original da matriz A_{3} é
\det(A_{3})=0.

Passo 6

Interpretação final sobre invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Como \det(A_{3})=0, a matriz A_{3} não é invertível; portanto a inversa A_{3}^{-1} não existe.
Um comentário prático: se tivesse sido solicitado, poderia-se também tentar aplicar o método da matriz aumentada (A_{3}\mid I) para obter A_{3}^{-1}; no processo de redução seria impossível obter a identidade I na parte esquerda devido à dependência linear detectada (apareceria uma linha nula na parte esquerda), confirmando a inexistência da inversa.

Resposta

\det(A_{3})=0
A_{3}^{-1} não existe.

Exercícios relacionados