Se couber (ou seja, se A_{3} for invertível), calcular A_{3}^{-1}.
Vou usar eliminação por linhas (método do escalonamento) para obter informação sobre o determinante e, em seguida, comentar sobre a inversa. Antes de começar, é importante lembrar algumas propriedades que vou usar.]
Passo 2
Relembrando propriedades úteis (matemática do dia, explicada devagar):
Adicionar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em símbolos: se L_i \leftarrow L_i + c L_j então \det não muda.
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Se durante o escalonamento aparecerem duas linhas proporcionais (ou iguais), isso significa que as linhas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Alternativamente, se a matriz não puder ser reduzida a uma matriz triangular com todos os pivôs não nulos (i.e., posto inferior que 4 para matriz 4\times4), o determinante será zero.
Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Vou então fazer operações de linha que não alteram o determinante (adições de múltiplos de linhas) para tornar evidente se o determinante é zero ou não.
Passo 3
Começo aplicando operações com pivot na primeira coluna (uso L_i para linha i):
Novamente, as operações foram adicionares de múltiplos de linhas, portanto o determinante permanece o mesmo que o de A_{3}.]
Passo 5
Agora observe atentamente as duas últimas linhas:
L_3 = (0,0,0,1),\qquad L_4 = (0,0,0,-1).
Essas duas linhas são proporcionais: L_3 = -\,L_4. Quando duas linhas de uma matriz são proporcionais (ou iguais), as linhas são linearmente dependentes e o determinante da matriz é zero. Esse é um fato direto sobre determinantes: det = 0 se as linhas (ou colunas) não são linearmente independentes.
Como chegamos a essa forma apenas com operações que não alteram o valor do determinante, concluímos que o determinante original da matriz A_{3} é
\det(A_{3})=0.
Passo 6
Interpretação final sobre invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Como \det(A_{3})=0, a matriz A_{3} não é invertível; portanto a inversa A_{3}^{-1} não existe.
Um comentário prático: se tivesse sido solicitado, poderia-se também tentar aplicar o método da matriz aumentada (A_{3}\mid I) para obter A_{3}^{-1}; no processo de redução seria impossível obter a identidade I na parte esquerda devido à dependência linear detectada (apareceria uma linha nula na parte esquerda), confirmando a inexistência da inversa.