Vou listar explicitamente os elementos (para evitar confusão na prova):
Primeira linha: a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=2.
Segunda linha: a_{21}=2, a_{22}=-1, a_{23}=3.
Terceira linha: a_{31}=4, a_{32}=1, a_{33}=8.
Passo 2
Conceito rápido sobre determinante (para lembrar na prova).
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado por expansão de cofatores ou por operações elementares para triangularizá-la.
Operações elementares e efeito no determinante:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante (essa operação é a mais útil para triangularizar sem alterar o valor, desde que não se faça troca nem multiplicação de linha).
Vou triangularizar A_{2} usando apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante), para chegar a uma matriz triangular superior cuja determinante é produto dos elementos da diagonal.
Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(A_{2})=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1.
Conclusão: \det(A_{2})=1. Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 3
Método para obter a inversa (fórmula que vou usar).
Uma forma direta e didática é usar a matriz adjunta (adjugada). A fórmula é
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.
Para cada elemento a_{ij} definimos o menor M_{ij} como o determinante da matriz 2\times2 obtida retirando a linha i e a coluna j; o cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Depois formamos a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e \operatorname{adj}(A)=C^{T}.
Vou calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij}.
Passo 4
Cálculo dos menores e cofatores (cada cálculo mostrado para você repetir na prova):
Verificação rápida (útil na prova para conferir seu resultado):
Multiplicando A_{2} por A_{2}^{-1} obtém-se a identidade I_{3}. (Mostra rápida de um produto de linhas por colunas confirma A_{2}A_{2}^{-1}=I_{3}; por exemplo, a primeira linha de A_{2} vezes a primeira coluna de A_{2}^{-1} dá 1, etc. — se preferir, faça essa multiplicação no rascunho para conferir todos os nove produtos.)