Exercício 2: Calcule os determinantes das seguintes matrizes e, quando cabível, as respectivas inversas.
A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos para a matriz A_{2}:
  • Calcular o determinante de A_{2}.
  • Caso seja possível (i.e., se o determinante for diferente de zero), calcular a inversa de A_{2}.
A matriz dada é
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}.
Vou listar explicitamente os elementos (para evitar confusão na prova):
  • Primeira linha: a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=2.
  • Segunda linha: a_{21}=2, a_{22}=-1, a_{23}=3.
  • Terceira linha: a_{31}=4, a_{32}=1, a_{33}=8.

Passo 2

Conceito rápido sobre determinante (para lembrar na prova).
  • O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado por expansão de cofatores ou por operações elementares para triangularizá-la.
  • Operações elementares e efeito no determinante:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k.
    • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante (essa operação é a mais útil para triangularizar sem alterar o valor, desde que não se faça troca nem multiplicação de linha).
Vou triangularizar A_{2} usando apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante), para chegar a uma matriz triangular superior cuja determinante é produto dos elementos da diagonal.
Parto de
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}.
Faço as operações (todas são do tipo “linha \leftarrow linha + c\cdot)outra linha”):
  1. R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}:
R_{2}=(2,-1,3)-2(1,0,2)=(0,-1,-1).
  1. R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}:
R_{3}=(4,1,8)-4(1,0,2)=(0,1,0).
Após essas duas operações (que não alteram o determinante), a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Agora elimino o elemento 1 em R_{3,2} somando R_{2} a R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}:
R_{3}=(0,1,0)+(0,-1,-1)=(0,0,-1).
Essa operação também não altera o determinante. Assim obtive a matriz triangular superior
U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(A_{2})=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1.
Conclusão: \det(A_{2})=1. Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 3

Método para obter a inversa (fórmula que vou usar).
  • Uma forma direta e didática é usar a matriz adjunta (adjugada). A fórmula é
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.
  • Para cada elemento a_{ij} definimos o menor M_{ij} como o determinante da matriz 2\times2 obtida retirando a linha i e a coluna j; o cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • Depois formamos a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) e \operatorname{adj}(A)=C^{T}.
Vou calcular todos os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij}.

Passo 4

Cálculo dos menores e cofatores (cada cálculo mostrado para você repetir na prova):
Linha 1:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}=(-1)\cdot 8 - 3\cdot 1 = -8 - 3 = -11.
    Então C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-11).
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 4 & 8\end{pmatrix}=2\cdot 8 - 3\cdot 4 =16-12=4.
    Então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-4.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - (-1)\cdot 4 =2+4=6.
    Então C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=6.
Linha 2:
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}=0\cdot 8 - 2\cdot 1 = -2.
    Então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21} = -1\cdot(-2)=2.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 4 & 8\end{pmatrix}=1\cdot 8 - 2\cdot 4 =8-8=0.
    Então C_{22}=0.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - 0\cdot 4 =1.
    Então C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1.
Linha 3:
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot 3 - 2\cdot(-1)=2.
    Então C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=2.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3 - 2\cdot 2 =3-4=-1.
    Então C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32} = -1\cdot(-1)=1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot 2 = -1.
    Então C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=-1.
Assim a matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix} -11 & -4 & 6 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugada) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A_{2})=C^{T}=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\\\ -4 & 0 & 1 \\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Como \det(A_{2})=1, a inversa é simplesmente
A_{2}^{-1}=\dfrac{1}{\det(A_{2})}\operatorname{adj}(A_{2})=\operatorname{adj}(A_{2}).
Logo
A_{2}^{-1}=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\\\ -4 & 0 & 1 \\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova para conferir seu resultado):
  • Multiplicando A_{2} por A_{2}^{-1} obtém-se a identidade I_{3}. (Mostra rápida de um produto de linhas por colunas confirma A_{2}A_{2}^{-1}=I_{3}; por exemplo, a primeira linha de A_{2} vezes a primeira coluna de A_{2}^{-1} 1, etc. — se preferir, faça essa multiplicação no rascunho para conferir todos os nove produtos.)

Resposta

\det(A_{2})=1\n A_{2}^{-1}=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}

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