Exercício 3:

(a) Mostre que os vetores \vec{u}_{1}=(1,1,0), \vec{u}_{2}=(-1,0,1) e \vec{u}_{3}=(0,1,1) são linearmente dependentes.
(b) Considere a base e=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) escrita em termos da base canônica como \vec{e}_{1}=(1,1,0), \vec{e}_{2}=(1,0,1) e \vec{e}_{3}=(0,1,1). Encontre as coordenadas de \vec{v}=(-2,1,-1)_{e} na base canônica.
(c) Considerando os vetores escritos na base canônica \vec{v}_{1}=(1,-1,0) e \vec{v}_{2}=(0,1,1), determine um versor que seja paralelo a \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}.
(d) Obtenha o cosseno do ângulo entre os vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} do item (c).

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (tomei os vetores do enunciado).
  • Vetores dados:
    • \vec{u}_{1}=(1,1,0)
    • \vec{u}_{2}=(-1,0,1)
    • \vec{u}_{3}=(0,1,1)
    • Base e=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) com \vec{e}_{1}=(1,1,0), \vec{e}_{2}=(1,0,1), \vec{e}_{3}=(0,1,1)
    • Vetor na base e: \vec{v}=(-2,1,-1)_{e}
    • Vetores na base canônica: \vec{v}_{1}=(1,-1,0) e \vec{v}_{2}=(0,1,1)
  • O que o enunciado pede:
    (a) Mostrar que \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3} são linearmente dependentes.
    (b) Encontrar as coordenadas de \vec{v}=(-2,1,-1)_{e} na base canônica.
    (c) Para \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} dados, determinar um versor (vetor unitário) paralelo a \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}.
    (d) Calcular \cos do ângulo entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.

Passo 2

Primeiro, um lembrete prático sobre dependência linear (rápido e útil para a prova):
  • Definição: vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tais que \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}.
  • Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^3 uma maneira simples de mostrar dependência é encontrar explicitamente coeficientes não todos nulos que zerem a combinação linear. É isso que vou fazer no item (a).

Passo 3

Vou tentar combinar \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 para ver se alguma soma dá o vetor nulo.
Calcule \vec{u}_1+\vec{u}_2:
\vec{u}_1+\vec{u}_2=(1,1,0)+(-1,0,1)=(1-1,\;1+0,\;0+1)=(0,1,1).
Mas (0,1,1) é exatamente \vec{u}_3. Assim
\vec{u}_1+\vec{u}_2-\vec{u}_3=\vec{0}.

Passo 4

A expressão do passo anterior mostra que existem coeficientes \alpha=1,\beta=1,\gamma=-1, nem todos nulos, com
1\cdot\vec{u}_1+1\cdot\vec{u}_2+(-1)\cdot\vec{u}_3=\vec{0}.
Pela definição, isso prova que \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 são linearmente dependentes. (Concluímos o item (a).)

Passo 5

Agora o item (b). Lembrete prático sobre coordenadas em uma base:
  • Se e=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) é uma base e um vetor tem coordenadas (c_1,c_2,c_3)_e, então o vetor na base canônica é
c_1\vec{e}_1+c_2\vec{e}_2+c_3\vec{e}_3.
Aqui \vec{v}=(-2,1,-1)_e, então vou calcular -2\vec{e}_1+1\vec{e}_2-1\vec{e}_3.

Passo 6

Calcule cada termo separadamente, usando as componentes dadas para \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3:
-2\vec{e}_1=-2(1,1,0)=(-2,-2,0),
1\vec{e}_2=(1,0,1),
-1\vec{e}_3=-(0,1,1)=(0,-1,-1).

Passo 7

Some componente a componente:
(-2,-2,0)+(1,0,1)+(0,-1,-1)=(-2+1+0,\;-2+0-1,\;0+1-1)=(-1,-3,0).
Portanto as coordenadas de \vec{v} na base canônica são (-1,-3,0). (Concluímos o item (b).)

Passo 8

Item (c): vamos obter um versor paralelo a \vec{v}_1-\vec{v}_2.
  • Definição prática: um versor é um vetor unitário (norma igual a 1). Para obter um versor paralelo a um vetor \vec{w} calcula-se \dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}.

Passo 9

Calcule \vec{w}=\vec{v}_1-\vec{v}_2:
\vec{w}=(1,-1,0)-(0,1,1)=(1-0,\;-1-1,\;0-1)=(1,-2,-1).

Passo 10

Calcule a norma de \vec{w}:
\|\vec{w}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.

Passo 11

Dividindo \vec{w} por sua norma obtemos o versor paralelo:
\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,-1)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
(Concluímos o item (c).)

Passo 12

Item (d): quero o cosseno do ângulo entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2.
  • Lembrete prático: para dois vetores \vec{a},\vec{b},
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes).

Passo 13

Calcule o produto escalar \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2:
\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=(1)(0)+(-1)(1)+0\cdot1=0-1+0=-1.

Passo 14

Calcule as normas:
\|\vec{v}_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},
\|\vec{v}_2\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}.

Passo 15

Agora coloque na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
(Concluímos o item (d).)

Resposta

(a) Sim. \vec{u}_1+\vec{u}_2-\vec{u}_3=\vec{0}.
(b) (-1,-3,0).
(c) \dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,-1).
(d) \cos\theta=-\tfrac{1}{2}.

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