Exercício 3:
(a) Mostre que os vetores
e
são linearmente dependentes.
(b) Considere a base
escrita em termos da base canônica como
e
. Encontre as coordenadas de
na base canônica.
(c) Considerando os vetores escritos na base canônica
e
, determine um versor que seja paralelo a
.
(d) Obtenha o cosseno do ângulo entre os vetores
e
do item (c).
(b) Considere a base
(c) Considerando os vetores escritos na base canônica
(d) Obtenha o cosseno do ângulo entre os vetores
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (tomei os vetores do enunciado).
- Vetores dados:
-
-
-
- Base
com , , - Vetor na base
: - Vetores na base canônica:
e
-
- O que o enunciado pede:
(a) Mostrar quesão linearmente dependentes.
(b) Encontrar as coordenadas dena base canônica.
(c) Parae dados, determinar um versor (vetor unitário) paralelo a .
(d) Calculardo ângulo entre e .
Passo 2
Primeiro, um lembrete prático sobre dependência linear (rápido e útil para a prova):
- Definição: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares , nem todos zero, tais que . - Na prática, para três vetores em
uma maneira simples de mostrar dependência é encontrar explicitamente coeficientes não todos nulos que zerem a combinação linear. É isso que vou fazer no item (a).
Passo 3
Vou tentar combinar
para ver se alguma soma dá o vetor nulo.
Calcule :
Calcule
Mas
é exatamente
. Assim
Passo 4
A expressão do passo anterior mostra que existem coeficientes
, nem todos nulos, com
Pela definição, isso prova que
são linearmente dependentes. (Concluímos o item (a).)
Passo 5
Agora o item (b). Lembrete prático sobre coordenadas em uma base:
- Se
é uma base e um vetor tem coordenadas , então o vetor na base canônica é
Aqui
, então vou calcular
.
Passo 6
Calcule cada termo separadamente, usando as componentes dadas para
:
Passo 7
Some componente a componente:
Portanto as coordenadas de
na base canônica são
. (Concluímos o item (b).)
Passo 8
Item (c): vamos obter um versor paralelo a
.
- Definição prática: um versor é um vetor unitário (norma igual a 1). Para obter um versor paralelo a um vetor
calcula-se .
Passo 9
Calcule
:
Passo 10
Calcule a norma de
:
Passo 11
Dividindo
por sua norma obtemos o versor paralelo:
(Concluímos o item (c).)
Passo 12
Item (d): quero o cosseno do ângulo entre
e
.
- Lembrete prático: para dois vetores
,
onde
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes).
Passo 13
Calcule o produto escalar
:
Passo 14
Calcule as normas:
Passo 15
Agora coloque na fórmula do cosseno:
(Concluímos o item (d).)
Resposta
(a) Sim.
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)