Exercício 5: Calcule a) a energia de elétron no átomo de hidrogênio no seu estado fundamental (menor energia) e no seu primeiro estado excitado, b) a energia liberada ao pular do nível de energia \mathrm{n}=2 para o nível \mathrm{n}=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a energia do elétron no átomo de hidrogênio no estado fundamental (menor energia, n=1) e no primeiro estado excitado ( n=2).
  • (b) Calcular a energia liberada quando o elétron pula do nível de energia n=2 para o nível n=1.
Informações importantes (dados padrão que usaremos):
  • Trata-se do átomo de hidrogênio (um elétron em torno de um próton).
  • Não foi dada uma fórmula no enunciado, portanto usaremos a expressão clássica dos níveis de energia do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, que relaciona a energia ao número quântico principal n.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (modelo de Bohr). Nos níveis discretos de energia do átomo de hidrogênio vale
E_n = -\frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{1}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia do elétron no nível com número quântico principal n.
  • m_e é a massa do elétron.
  • e é a carga elementar (valor absoluto da carga do elétron).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • h é a constante de Planck.
  • O sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia ligada, abaixo de zero).
Explicando um pouco essa fórmula de forma simples e concreta:
  • A fórmula resulta do equilíbrio entre energia cinética e energia potencial coulombiana do elétron orbitando o próton, juntamente com a hipótese de quantização do momento angular m_e v r = n\hbar. Não precisamos refazer toda a derivação agora, mas o importante é entender que o fator multiplicativo (a parte antes de 1/n^2) é uma constante negativa fixa para o hidrogênio, e o comportamento em 1/n^2 diz que níveis mais altos ( n maior) têm energia menos negativa (mais próxima de zero).

Passo 3

Valor numérico da constante. Substituindo os valores das constantes físicas na expressão de E_n obtemos o resultado padrão:
E_n = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Aqui explico o que significa cada parte:
  • O número 13,6\\ \mathrm{eV} é o módulo da energia do estado fundamental para o hidrogênio; em joules esse valor é aproximadamente 2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J} (usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
  • Assim, para qualquer nível n basta dividir -13,6\\ \mathrm{eV} por n^2.
Observação física leve: como E_n é negativo, quanto maior n menor (em módulo) é a energia ligada; no infinito ( n\to\infty) a energia tende a 0 (elétron livre).

Passo 4

Cálculo da energia no estado fundamental ( n=1):
E_1 = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{1^2} = -13,6\\ \mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
E_1 = -13,6\\ \mathrm{eV}\times\left(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}\right) = -2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Expliquei a conversão para que você consiga comparar em diferentes unidades na prova.

Passo 5

Cálculo da energia no primeiro estado excitado ( n=2):
E_2 = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{2^2} = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{4} = -3,4\\ \mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
E_2 = -3,4\\ \mathrm{eV}\times\left(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}\right) = -5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Energia liberada ao pular de n=2 para n=1. Explicação do sinal: quando o elétron vai de um nível de maior energia (menos negativo, n=2) para um nível de menor energia (mais negativo, n=1), a diferença de energia é emitida como fóton. A energia do fóton (positiva) é
\Delta E = E_2 - E_1.
Substituindo os valores em eletrón-volts:
\Delta E = (-3,4\\ \mathrm{eV}) - (-13,6\\ \mathrm{eV}) = 10,2\\ \mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
\Delta E = 10,2\\ \mathrm{eV}\times\left(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}\right) \approx 1,63\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Interpretação curta: esse \Delta E é a energia do fóton emitido na transição n=2\to n=1; é um número positivo porque descreve energia liberada.

Resposta

a) E_{n=1} = -13,6\\ \mathrm{eV} = -2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}
a) E_{n=2} = -3,4\\ \mathrm{eV} = -5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
b) Energia liberada \Delta E = 10,2\\ \mathrm{eV} = 1,63\times10^{-18}\\ \mathrm{J}

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