Exercício 5: Calcule a) a energia de elétron no átomo de hidrogênio no seu estado fundamental (menor energia) e no seu primeiro estado excitado, b) a energia liberada ao pular do nível de energia
para o nível
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a energia do elétron no átomo de hidrogênio no estado fundamental (menor energia,
) e no primeiro estado excitado ( ). - (b) Calcular a energia liberada quando o elétron pula do nível de energia
para o nível .
Informações importantes (dados padrão que usaremos):
- Trata-se do átomo de hidrogênio (um elétron em torno de um próton).
- Não foi dada uma fórmula no enunciado, portanto usaremos a expressão clássica dos níveis de energia do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, que relaciona a energia ao número quântico principal
.
Passo 2
Apresentando a fórmula que vamos usar (modelo de Bohr). Nos níveis discretos de energia do átomo de hidrogênio vale
onde:
-
é a energia do elétron no nível com número quântico principal . -
é a massa do elétron. -
é a carga elementar (valor absoluto da carga do elétron). -
é a permissividade do vácuo. -
é a constante de Planck. - O sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia ligada, abaixo de zero).
Explicando um pouco essa fórmula de forma simples e concreta:
- A fórmula resulta do equilíbrio entre energia cinética e energia potencial coulombiana do elétron orbitando o próton, juntamente com a hipótese de quantização do momento angular
. Não precisamos refazer toda a derivação agora, mas o importante é entender que o fator multiplicativo (a parte antes de ) é uma constante negativa fixa para o hidrogênio, e o comportamento em diz que níveis mais altos ( maior) têm energia menos negativa (mais próxima de zero).
Passo 3
Valor numérico da constante. Substituindo os valores das constantes físicas na expressão de
obtemos o resultado padrão:
Aqui explico o que significa cada parte:
- O número
é o módulo da energia do estado fundamental para o hidrogênio; em joules esse valor é aproximadamente (usando ). - Assim, para qualquer nível
basta dividir por .
Observação física leve: como
é negativo, quanto maior
menor (em módulo) é a energia ligada; no infinito (
) a energia tende a
(elétron livre).
Passo 4
Cálculo da energia no estado fundamental (
):
Convertendo para joules:
Expliquei a conversão para que você consiga comparar em diferentes unidades na prova.
Passo 5
Cálculo da energia no primeiro estado excitado (
):
Convertendo para joules:
Passo 6
Energia liberada ao pular de
para
. Explicação do sinal: quando o elétron vai de um nível de maior energia (menos negativo,
) para um nível de menor energia (mais negativo,
), a diferença de energia é emitida como fóton. A energia do fóton (positiva) é
Substituindo os valores em eletrón-volts:
Convertendo para joules:
Interpretação curta: esse
é a energia do fóton emitido na transição
; é um número positivo porque descreve energia liberada.
Resposta
a)
a)
b) Energia liberada
a)
b) Energia liberada