Exercício 3: Qual o comprimento de onda de um raio que tem uma frequência de 4,4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} (Hertz = ciclos/s ou \mathrm{s}^{-1} )? Qual a energia contida no raio? A que região do espectro eletromagnético pertence essa onda?

Passo 1

O enunciado dá a frequência do raio e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • Frequência: \,f = 4,4\times10^{14}\\ \text{Hz} (Hz = ciclos/s = \text{s}^{-1}).
O que é pedido:
  1. O comprimento de onda \lambda do raio.
  2. A energia contida no raio (interpreto como a energia de um fóton dessa onda).
  3. A que região do espectro eletromagnético essa onda pertence.

Passo 2

Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda (fórmula básica).
  • A relação é c=\lambda f,
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: \text{m}/\text{s}),
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade: \text{m}),
  • f é a frequência (unidade: \text{s}^{-1} ou Hz).
Explicação curta: essa fórmula diz que em cada segundo uma oscilação percorre uma distância igual ao comprimento de onda vezes o número de oscilações por segundo; o produto \lambda f é a velocidade de propagação da onda.
Queremos \lambda, então isolamos: \lambda=\frac{c}{f}.
Agora substituímos os valores numéricos. Uso o valor aproximado \,c = 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s}.
\lambda=\frac{3,00\times10^{8}}{4,4\times10^{14}}\\ \text{m}.
Fazendo as potências de dez e a divisão numérica separadamente:
\lambda=\left(\frac{3,00}{4,4}\right)\times10^{8-14}\\ \text{m}=\left(0,681818\ldots\right)\times10^{-6}\\ \text{m}.
Reescrevendo em notação científica conveniente:
\lambda \approx 6,82\times10^{-7}\\ \text{m}.
Conversão para nanômetros (útil para comparar com o espectro visível): 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}, então
\lambda \approx 6,82\times10^{-7}\\ \text{m}=6,82\times10^{2}\\ \text{nm}=682\\ \text{nm}.

Passo 3

Fórmula para a energia de um fóton e explicação das constantes.
  • A energia de um fóton de frequência f é dada por E = h f,
onde:
  • E é a energia (unidade: joule, \text{J}),
  • h é a constante de Planck (unidade: \text{J}\cdot\text{s}),
  • f é a frequência (unidade: \text{s}^{-1}).
Valor numérico usado: \,h = 6,626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
Substituindo:
E = (6,626\times10^{-34})\times(4,4\times10^{14})\\ \text{J}.
Fazendo a multiplicação:
E = (6,626\times4,4)\times10^{-34+14}\\ \text{J}=29,1544\times10^{-20}\\ \text{J}.
Colocando em notação científica padrão:
E \approx 2,92\times10^{-19}\\ \text{J}.
É comum também expressar energia em elétron-volts ( \text{eV}). Para isso usamos a carga elementar e = 1,602\times10^{-19}\\ \text{C} (onde 1\\ \text{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \text{J}). Então:
E \approx \frac{2,92\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \text{eV}\approx 1,82\\ \text{eV}.

Passo 4

Classificação no espectro eletromagnético.
  • O espectro visível tem, aproximadamente, o intervalo de \,380\\ \text{nm} a \,750\\ \text{nm}.
  • Encontramos \lambda \approx 682\\ \text{nm}, que está dentro do intervalo visível e cai na região do vermelho (comprimentos de onda grandes do visível correspondem ao vermelho/alaranjado).
  • Portanto a onda pertence à faixa da luz visível — mais precisamente: luz visível, cor vermelha.
Pequeno incentivo: ótima notícia — você já conseguiu transformar frequência em comprimento de onda e energia passo a passo! Isso é exatamente o que costumam pedir em prova. Vai dar certo 😃

Resposta

Comprimento de onda: \lambda \approx 6,82\times10^{-7}\\ \text{m} = 682\\ \text{nm}
Energia por fóton: E \approx 2,92\times10^{-19}\\ \text{J} \approx 1,82\\ \text{eV}
Região do espectro: luz visível (vermelha)

Exercícios relacionados