Exercício 4: Em uma experiencia com um tubo de descarga (tubo de Crookes) contendo hidrogênio se obteve um espectro de linhas. Calcule a) o comprimento de onda da linha de emissão para a transição de \mathrm{n}=2 para \mathrm{n}=1, \mathrm{~b} ) a energia liberada nesta transição.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras para a linha do hidrogênio correspondente à transição de n=2 para n=1:
  • (a) calcular o comprimento de onda da linha de emissão;
  • (b) calcular a energia liberada nessa transição.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Átomo: hidrogênio.
  • nível inicial: n_i=2.
  • nível final: n_f=1.

Passo 2

Fórmula que usaremos para o comprimento de onda: a fórmula de Rydberg para as transições do átomo de hidrogênio é
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da linha emitida (em metros),
  • R_{\infty} é a constante de Rydberg para o hidrogênio em vácuo (unidade \mathrm{m^{-1}}),
  • n_i e n_f são, respectivamente, os números quânticos principal inicial e final.
Valor que vou usar para a constante de Rydberg:
R_{\infty}=1,0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Explicação rápida do porquê dessa fórmula: ao passar de um nível quantizado n_i para n_f o átomo emite um fóton cuja energia é a diferença entre os níveis; como a energia do fóton é E=hc/\lambda, relacionando com as energias discretas do hidrogênio chega-se à fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso n_i=2 e n_f=1:
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)=R_{\infty}\!\left(1-\frac{1}{4}\right)=R_{\infty}\cdot\frac{3}{4}.
Portanto
\lambda=\frac{4}{3R_{\infty}}.
Agora substituo numericamente:
3R_{\infty}=3\times\left(1,0973731568508\times10^{7}\right)=3,2921194705524\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
\lambda=\frac{4}{3,2921194705524\times10^{7}}=1,215670\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda\approx121{,}567\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Agora calculamos a energia liberada. Uma forma direta é usar
E=h c \left(\frac{1}{\lambda}\right),
mas como já temos \dfrac{1}{\lambda}=R_{\infty}\cdot\dfrac{3}{4} podemos escrever
E=h c R_{\infty}\cdot\frac{3}{4}.
Explicando as constantes:
  • h é a constante de Planck: h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • c é a velocidade da luz no vácuo: c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 5

Calculemos passo a passo o produto h c R_{\infty}:
h c = (6,62607015\times10^{-34})\times(2,99792458\times10^{8})=1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
h c R_{\infty}=(1,98644586\times10^{-25})\times(1,0973731568508\times10^{7})=2,179872361\ldots\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando por 3/4:
E=h c R_{\infty}\cdot\frac{3}{4}=1,634904271\ldots\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia para elétron-volts é útil (1 eV =1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{\text{(eV)}}=\frac{1,634904271\times10^{-18}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx10{,}204\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Interpretação rápida (para guardar na prova): a linha obtida é a linha Lyman- \alpha do hidrogênio, no ultravioleta, com \lambda\approx121{,}6\\ \mathrm{nm} e energia de fóton cerca de 10{,}2\\ \mathrm{eV}. Força aí — essa é uma linha clássica e muito usada como referência.

Resposta

\lambda=1,21567\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx121{,}57\\ \mathrm{nm}
E=1,63490\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx10{,}204\\ \mathrm{eV}

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