Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função
no ponto indicado. Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
.
O que se pede explicitamente: encontrar a equação da reta tangente a
no ponto correspondente a
.
Passo 2
Recordando a fórmula geral da reta tangente em
: a reta tangente a uma função
em
é dada por
Aqui
é o valor da função no ponto (o ponto de tangência) e
é a derivada em
, que representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Explicação rápida:
porque a função logaritmo natural tem
.
Passo 4
Calcular a derivada
. Usamos a regra da cadeia para derivar
com
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
. Primeiro, derivamos
:
Então
Explicação didática: pensar em
como composição — você deriva o “por fora” (
) dando
e multiplica pela derivada do “por dentro” (
).
Passo 5
Avaliar a derivada em
:
Interpretando: a inclinação da reta tangente naquele ponto é
, ou seja, a reta é horizontal.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
:
Simplificando, a reta tangente é a reta horizontal
.