Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função f no ponto indicado. Informações dadas:
  • Função: f(x)=\ln\!\big(x^{2}+1\big).
  • Ponto onde queremos a tangente: x_{0}=0.
O que se pede explicitamente: encontrar a equação da reta tangente a f no ponto correspondente a x_{0}=0.

Passo 2

Recordando a fórmula geral da reta tangente em x_{0}: a reta tangente a uma função f em x_{0} é dada por
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\big(x - x_{0}\big).
Aqui f(x_{0}) é o valor da função no ponto (o ponto de tangência) e f'(x_{0}) é a derivada em x_{0}, que representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente.

Passo 3

Calcular f(x_{0}). Substituindo x_{0}=0 em f:
f(0)=\ln\!\big(0^{2}+1\big)=\ln(1)=0.
Explicação rápida: \ln(1)=0 porque a função logaritmo natural tem \mathrm{e}^{0}=1.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x). Usamos a regra da cadeia para derivar f(x)=\ln\!\big(u(x)\big) com u(x)=x^{2}+1. A regra da cadeia diz que a derivada de \ln(u) é u'/u. Primeiro, derivamos u(x):
u(x)=x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x.
Então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Explicação didática: pensar em \ln(u(x)) como composição — você deriva o “por fora” ( \ln) dando 1/u e multiplica pela derivada do “por dentro” ( u'(x)).

Passo 5

Avaliar a derivada em x_{0}=0:
f'(0)=\frac{2\cdot 0}{0^{2}+1}=\frac{0}{1}=0.
Interpretando: a inclinação da reta tangente naquele ponto é 0, ou seja, a reta é horizontal.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2 com f(0)=0, f'(0)=0 e x_{0}=0:
y = f(0) + f'(0)\big(x-0\big)=0 + 0\cdot x = 0.
Simplificando, a reta tangente é a reta horizontal y=0.

Resposta

y=0

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