Exercício 17 (Regra da cadeia e retas tangentes.).
x f(x) g(x) f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
Encontre o valor (f \circ g)^{\prime}(3). Calcule o valor (f \circ g)^{\prime}(3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de (f\circ g)^{\prime}(3).\n
Dados relevantes retirados da tabela do enunciado (peguei estes valores na tabela):
g(3)=2,\quad g^{\prime}(3)=9,
f(2)=1\\ (\text{valor de }f\text{ em }2\text{, fornecido na tabela}),\quad f^{\prime}(2)=5.

Passo 2

A regra que usamos é a regra da cadeia para derivadas de compostos. Se definimos h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)), a regra da cadeia diz que
h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicando de forma didática: g'(x) é a taxa de variação de g em relação a x. f'(u) (onde escrevo u para a variável de f) é a taxa de variação de f em relação à sua entrada u. Quando u=g(x), a variação de f por variação de x é a variação de f por variação de u (ou seja f'(u)) vezes a variação de u por variação de x (ou seja g'(x)). Por isso multiplicamos.

Passo 3

Aplicando a fórmula no ponto x=3 obtemos
(f\circ g)'(3)=f'\big(g(3)\big)\cdot g'(3).
Aqui a lógica é: primeiro avalio g(3) (isso me dá o ponto onde devo avaliar f'), depois multiplico por g'(3).

Passo 4

Agora substituo os valores da tabela que listei no Passo 1. Pela tabela temos g(3)=2 e g'(3)=9. Então
(f\circ g)'(3)=f'(2)\cdot 9.
Também pela tabela, f'(2)=5. (Estou explicitando que peguei f'(2)=5 da linha onde x=2 na coluna f'(x).)

Passo 5

Multiplicando os números:
(f\circ g)'(3)=5\cdot 9=45.
Intuitivamente: f' em 2 diz quantas unidades f muda quando sua entrada muda uma unidade; g'(3) diz quantas unidades a entrada de f (que é g) muda quando x muda uma unidade; o produto dá a mudança de f(g(x)) por mudança em x.

Passo 6

Resposta final concluída e conferida: o procedimento aplicou corretamente a regra da cadeia e usou os valores da tabela.

Resposta

(f\circ g)'(3)=45

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