Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=\sqrt{x+3} em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x+3} e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto onde x_{0}=1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: a própria expressão de f e o valor x_{0}=1. Para escrever a reta tangente precisamos de duas coisas: o ponto de tangência (x_{0},f(x_{0})) e a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é f'(x_{0}).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência, ou seja, avaliar f em x_{0}=1.
f(1)=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Logo o ponto de tangência é (1,2).

Passo 3

Entender o que é a inclinação da reta tangente: geometricamente, a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto é a “taxa de variação instantânea” da função ali — isto é o valor da derivada. A derivada de f em x pode ser definida por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas para calcular rapidamente usamos regras de derivação. Vamos reescrever f de forma conveniente e aplicar a regra do expoente (regra da potência) e a regra da cadeia.

Passo 4

Reescrevendo f com potência:
f(x)=(x+3)^{1/2}.
Aplicando a regra da potência junto com a regra da cadeia (se u(x)=x+3, então \frac{d}{dx}u(x)=1), obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}(x+3)^{-1/2}\cdot 1=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}.
Aqui cada parte significa: o fator \tfrac{1}{2} vem do expoente 1/2; (x+3)^{-1/2} é igual a 1/\sqrt{x+3}; e multiplicamos por (x+3)', que é 1.

Passo 5

Calcular a inclinação no ponto x_{0}=1:
f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo y_{0}=2, m=\tfrac{1}{4} e x_{0}=1,
y-2=\frac{1}{4}(x-1).
Agora simplificamos para a forma y=mx+b:
y-2=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}+2=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (só para dar confiança): ao substituir x=1 na reta encontrada,
y=\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{7}{4}=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2,
que confere com o ponto (1,2). A inclinação da reta é \tfrac{1}{4}, igual a f'(1), então está tudo consistente.

Resposta

y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{4}

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