Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente a essa função no ponto onde
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: a própria expressão de e o valor
. Para escrever a reta tangente precisamos de duas coisas: o ponto de tangência
e a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar depois: a própria expressão de
Passo 2
Calcular o ponto de tangência, ou seja, avaliar
em
.
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 3
Entender o que é a inclinação da reta tangente: geometricamente, a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto é a “taxa de variação instantânea” da função ali — isto é o valor da derivada. A derivada de
em
pode ser definida por
mas para calcular rapidamente usamos regras de derivação. Vamos reescrever
de forma conveniente e aplicar a regra do expoente (regra da potência) e a regra da cadeia.
Passo 4
Reescrevendo
com potência:
Aplicando a regra da potência junto com a regra da cadeia (se
, então
), obtemos
Aqui cada parte significa: o fator
vem do expoente
;
é igual a
; e multiplicamos por
, que é
.
Passo 5
Calcular a inclinação no ponto
:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
,
Agora simplificamos para a forma
:
Passo 7
Verificação rápida (só para dar confiança): ao substituir
na reta encontrada,
que confere com o ponto
. A inclinação da reta é
, igual a
, então está tudo consistente.