Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{4 x-x^{2}}{x^{2}+4} em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função \displaystyle f(x)=\frac{4x-x^{2}}{x^{2}+4} no ponto onde x_{0}=0.
Informações dadas:
\displaystyle f(x)=\frac{4x-x^{2}}{x^{2}+4}.
\displaystyle x_{0}=0.
Objetivo: encontrar a equação da reta tangente a f em x_{0}=0.

Passo 2

O que é a reta tangente, na prática?
A reta tangente a uma curva no ponto x_{0} é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva ali. A fórmula ponto-de-reta usando a derivada é:
y = f'(x_{0})\,(x-x_{0}) + f(x_{0}).
Aqui f'(x_{0}) é o coeficiente angular (a inclinação, o declive) da tangente em x_{0}, x_{0} é a abscissa do ponto de tangência e f(x_{0}) é a ordenada desse ponto.

Passo 3

Calcule f(x_{0}), ou seja f(0). Substituindo x=0 em \displaystyle f(x)=\frac{4x-x^{2}}{x^{2}+4}:
f(0)=\frac{4\cdot 0 - 0^{2}}{0^{2}+4}=\frac{0}{4}=0.
Portanto o ponto de tangência é (0,0).

Passo 4

Agora precisamos de f'(0). Vamos obter f'(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 5

Identificamos:
u(x)=4x-x^{2},\qquad v(x)=x^{2}+4.
As derivadas são:
u'(x)=4-2x,\qquad v'(x)=2x.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{(4-2x)(x^{2}+4) - (4x-x^{2})(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Agora vamos expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro o produto (4-2x)(x^{2}+4):
(4-2x)(x^{2}+4)=4x^{2}+16-2x^{3}-8x.
Segundo produto (4x-x^{2})(2x):
(4x-x^{2})(2x)=8x^{2}-2x^{3}.

Passo 7

Subtraindo os dois resultados no numerador:
\text{numerador}=(4x^{2}+16-2x^{3}-8x) - (8x^{2}-2x^{3}).
Agrupando termos semelhantes:
\text{numerador}=4x^{2}+16-2x^{3}-8x-8x^{2}+2x^{3}.
Observe que os termos em x^{3} se cancelam: -2x^{3}+2x^{3}=0. Restam:
\text{numerador}=-4x^{2}-8x+16.
Podemos fatorar um 4 se quisermos:
\text{numerador}=4(-x^{2}-2x+4).
Portanto
f'(x)=\frac{-4x^{2}-8x+16}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 8

Calculamos f'(0) substituindo x=0 em f'(x). No numerador:
-4\cdot 0^{2}-8\cdot 0+16=16.
No denominador:
(0^{2}+4)^{2}=4^{2}=16.
Assim
f'(0)=\frac{16}{16}=1.
Portanto a inclinação da reta tangente em x_{0}=0 é 1.

Passo 9

Usando a fórmula da reta tangente com x_{0}=0, f(0)=0 e f'(0)=1:
y = f'(0)\,(x-0) + f(0) = 1\cdot x + 0 = x.
Logo a equação da reta tangente é y=x. Dica rápida para a prova: calcule sempre primeiro f(x_{0}) (o ponto), depois f'(x_{0}) (a inclinação) e substitua na fórmula ponto-inclinação.

Resposta

y = x

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