Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função
no ponto onde
.
Informações dadas:
.
.
Objetivo: encontrar a equação da reta tangente a em
.
Informações dadas:
Objetivo: encontrar a equação da reta tangente a
Passo 2
O que é a reta tangente, na prática?
A reta tangente a uma curva no ponto é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva ali. A fórmula ponto-de-reta usando a derivada é:
A reta tangente a uma curva no ponto
Aqui
é o coeficiente angular (a inclinação, o declive) da tangente em
,
é a abscissa do ponto de tangência e
é a ordenada desse ponto.
Passo 3
Calcule
, ou seja
. Substituindo
em
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Vamos obter
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
é o numerador e
o denominador. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 5
Identificamos:
As derivadas são:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Agora vamos expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro o produto
:
Segundo produto
:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados no numerador:
Agrupando termos semelhantes:
Observe que os termos em
se cancelam:
. Restam:
Podemos fatorar um
se quisermos:
Portanto
Passo 8
Calculamos
substituindo
em
. No numerador:
No denominador:
Assim
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 9
Usando a fórmula da reta tangente com
,
e
:
Logo a equação da reta tangente é
. Dica rápida para a prova: calcule sempre primeiro
(o ponto), depois
(a inclinação) e substitua na fórmula ponto-inclinação.