Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3} em x_{0}=4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional f no ponto x_{0}=4. Informações dadas:
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3},\qquad x_{0}=4.
A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a f no ponto cuja abscissa é x_{0}=4.

Passo 2

Primeiro vamos listar o que precisamos para escrever a equação da reta tangente. A equação ponto‑inclinação da reta tangente em x_{0} é
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}),
ou seja, precisamos de duas coisas: o valor da função em x_{0}, f(x_{0}), e a derivada em x_{0}, f'(x_{0}) (que é o coeficiente angular da reta tangente).

Passo 3

Antes de derivar, é útil simplificar a expressão de f(x) quando possível. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Como resultado,
f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.
Para x\neq 3 podemos cancelar x-3 e obter
f(x)=x+3\quad\text{para }x\neq 3.
Nota importante: a função original não está definida em x=3 (há uma descontinuidade removível), mas para qualquer x diferente de 3 a expressão é igual a x+3. Como x_{0}=4\neq 3, podemos trabalhar com a função simplificada x+3 no entorno de x_{0}.

Passo 4

Explico rapidamente por que simplificar primeiro é uma boa escolha: derivar diretamente a razão poderia ser feito pelo Regra do Quociente, mas simplificar elimina cancelamentos e torna a diferenciação bem mais simples — uso de álgebra antes do cálculo é uma técnica prática e segura na prova. Vou usar a forma simplificada f(x)=x+3 para calcular f(4) e f'(4).

Passo 5

Calculando o valor da função em x_{0}=4:
f(4)=4+3=7.
Isso nos dá o ponto de tangência com coordenadas (4,7).

Passo 6

Agora precisamos da derivada f'(x). Para a função simplificada f(x)=x+3 a derivada é imediata: a derivada de x é 1 e a derivada de constante é 0. Logo,
f'(x)=1\quad\text{para }x\neq 3.
Em particular,
f'(4)=1.

Passo 7

Se quiser ver pelo conceito de limite (definição de derivada), podemos confirmar:
f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{(x+3)-7}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{x-4}{x-4}=1.
Isso confirma que a inclinação da tangente em x=4 é 1.

Passo 8

Agora usemos a fórmula da reta tangente ponto‑inclinação com f(4)=7, f'(4)=1 e x_{0}=4:
y - 7 = 1\cdot (x - 4).

Passo 9

Simplificando a equação:
y - 7 = x - 4 \quad\Rightarrow\quad y = x + 3.
Observação interessante: a reta tangente em x=4 coincide com a expressão simplificada da função x+3. Isso acontece porque a função é linear no entorno de x=4. Lembrete amistoso: embora a expressão simplificada seja x+3 para x\neq 3, a função original não está definida em x=3; isso não afeta o cálculo da tangente em x=4.

Resposta

y = x + 3

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