Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional
no ponto
. Informações dadas:
A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a
no ponto cuja abscissa é
.
Passo 2
Primeiro vamos listar o que precisamos para escrever a equação da reta tangente. A equação ponto‑inclinação da reta tangente em
é
ou seja, precisamos de duas coisas: o valor da função em
,
, e a derivada em
,
(que é o coeficiente angular da reta tangente).
Passo 3
Antes de derivar, é útil simplificar a expressão de
quando possível. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados:
Como resultado,
Para
podemos cancelar
e obter
Nota importante: a função original não está definida em
(há uma descontinuidade removível), mas para qualquer
diferente de
a expressão é igual a
. Como
, podemos trabalhar com a função simplificada
no entorno de
.
Passo 4
Explico rapidamente por que simplificar primeiro é uma boa escolha: derivar diretamente a razão poderia ser feito pelo Regra do Quociente, mas simplificar elimina cancelamentos e torna a diferenciação bem mais simples — uso de álgebra antes do cálculo é uma técnica prática e segura na prova. Vou usar a forma simplificada
para calcular
e
.
Passo 5
Calculando o valor da função em
:
Isso nos dá o ponto de tangência com coordenadas
.
Passo 6
Agora precisamos da derivada
. Para a função simplificada
a derivada é imediata: a derivada de
é
e a derivada de constante é
. Logo,
Em particular,
Passo 7
Se quiser ver pelo conceito de limite (definição de derivada), podemos confirmar:
Isso confirma que a inclinação da tangente em
é
.
Passo 8
Agora usemos a fórmula da reta tangente ponto‑inclinação com
,
e
:
Passo 9
Simplificando a equação:
Observação interessante: a reta tangente em
coincide com a expressão simplificada da função
. Isso acontece porque a função é linear no entorno de
. Lembrete amistoso: embora a expressão simplificada seja
para
, a função original não está definida em
; isso não afeta o cálculo da tangente em
.