Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função
no ponto cujo abscissa é
. As informações dadas são:
-
. - O ponto de tangência tem
-coordenada .
A tarefa é obter a equação da reta tangente a
em
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): a reta tangente a uma curva no ponto
tem coeficiente angular igual à derivada da função em
. A forma ponto‑inclinação da reta tangente é
Aqui:
-
é a ordenada do ponto de tangência; -
é a inclinação (derivada) da função em ; -
e são as variáveis da equação da reta.
Logo precisamos de dois ingredientes: o valor
e a derivada
. Para achar
vou primeiro transformar a função em uma forma mais simples (divisão polinomial), porque isso facilita o cálculo da derivada sem erros.
Passo 3
Fazer a divisão polinomial (explicação passo a passo): dividir
por
.
- Multiplico
por : . - Subtraindo
de fico com resto .
Portanto
Essa decomposição é útil porque as derivadas de
e de
são fáceis de calcular.
Passo 4
Calcular a derivada (explicação das regras usadas):
- A derivada da soma é a soma das derivadas.
- A derivada de
é (regra do polinômio). - Reescrevo
como . Uso a regra da potência: a derivada de é multiplicada pela derivada interna (que é aqui).
Assim,
Passo 5
Avaliar
em
(passo a passo):
Usando a expressão original ou a decomposição,
Usando a expressão original ou a decomposição,
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 6
Avaliar
em
(passo a passo):
Portanto a inclinação da tangente em
é
.
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto‑inclinação:
Substituindo
e
,
Simplificando: