Exercício 6. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1} em x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função f no ponto cujo abscissa é x_{0}=2. As informações dadas são:
  • f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}.
  • O ponto de tangência tem x-coordenada x_{0}=2.
A tarefa é obter a equação da reta tangente a f em x_{0}=2.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): a reta tangente a uma curva no ponto x_{0} tem coeficiente angular igual à derivada da função em x_{0}. A forma ponto‑inclinação da reta tangente é
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Aqui:
  • f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência;
  • f'(x_{0}) é a inclinação (derivada) da função em x_{0};
  • x e y são as variáveis da equação da reta.
Logo precisamos de dois ingredientes: o valor f(2) e a derivada f'(2). Para achar f'(x) vou primeiro transformar a função em uma forma mais simples (divisão polinomial), porque isso facilita o cálculo da derivada sem erros.

Passo 3

Fazer a divisão polinomial (explicação passo a passo): dividir x^{2}+1 por x-1.
  • Multiplico x-1 por x+1: (x-1)(x+1)=x^{2}-1.
  • Subtraindo x^{2}-1 de x^{2}+1 fico com resto 2.
    Portanto
\frac{x^{2}+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.
Essa decomposição é útil porque as derivadas de x+1 e de \dfrac{2}{x-1} são fáceis de calcular.

Passo 4

Calcular a derivada (explicação das regras usadas):
  • A derivada da soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de x+1 é 1 (regra do polinômio).
  • Reescrevo \dfrac{2}{x-1} como 2(x-1)^{-1}. Uso a regra da potência: a derivada de (x-1)^{n} é n(x-1)^{n-1} multiplicada pela derivada interna (que é 1 aqui).
    Assim,
f'(x)=1 + 2\cdot(-1)(x-1)^{-2}=1-\frac{2}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Avaliar f em x_{0}=2 (passo a passo):
Usando a expressão original ou a decomposição,
f(2)=\frac{2^{2}+1}{2-1}=\frac{4+1}{1}=5.
Logo o ponto de tangência é (2,5).

Passo 6

Avaliar f' em x_{0}=2 (passo a passo):
f'(2)=1-\frac{2}{(2-1)^{2}}=1-\frac{2}{1}=1-2=-1.
Portanto a inclinação da tangente em x=2 é -1.

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto‑inclinação:
y - f(2)=f'(2)\,(x-2).
Substituindo f(2)=5 e f'(2)=-1,
y-5 = -1\,(x-2).
Simplificando:
y-5 = -x+2
y = -x+7.

Resposta

y=-x+7

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