Exercício 0.1 Calcule
\frac{2^{-1}-(-2)^{2}+(-2)^{-1}}{2^{2}-2^{-2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{2^{-1}-(-2)^{2}+(-2)^{-1}}{2^{2}-2^{-2}}.
Informações relevantes fornecidas: os termos com potências incluem expoentes negativos (como -1 e -2) e uma base negativa (como -2). A tarefa é simplificar essa fração até obter um número racional simplificado.

Passo 2

Relembrando regras de potências que usaremos (mini-aula rápida):
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\quad\text{(expoente negativo vira recíproco)}í
(a)^{m}\\ \text{com}\\ a<0\\ \text{e}\\ m\in\mathbb{Z}\\ \text{segue as mesmas regras: por exemplo}\\ (-2)^{2}=(-2)\cdot(-2).
Também usaremos que, para dividir por uma fração, multiplicamos pelo seu recíproco:
\frac{x}{y/z}=x\cdot\frac{z}{y}.

Passo 3

Vamos avaliar cada potência separadamente.
Calcule 2^{-1}. Usando a^{-1}=1/a,
2^{-1}=\frac{1}{2}.
Calcule (-2)^{2}. É (-2)\cdot(-2)=4, portanto
(-2)^{2}=4.
Calcule (-2)^{-1}. Usando a^{-1}=1/a com a=-2,
(-2)^{-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Calcule 2^{2} e 2^{-2}. Temos
2^{2}=4,\qquad 2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Agora substituímos esses valores na expressão original. O numerador fica
2^{-1}-(-2)^{2}+(-2)^{-1}=\frac{1}{2}-4-\frac{1}{2}.
Observe que \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0, logo o numerador é
\frac{1}{2}-4-\frac{1}{2}=0-4=-4.

Passo 5

O denominador, substituindo os valores, é
2^{2}-2^{-2}=4-\frac{1}{4}.
Para subtrair, colocamos em denominador comum 4:
4-\frac{1}{4}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}.

Passo 6

Temos então a fração
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}=\frac{-4}{15/4}.
Dividir por \frac{15}{4} equivale a multiplicar pelo recíproco \frac{4}{15}:
\frac{-4}{15/4}=-4\cdot\frac{4}{15}=-\frac{16}{15}.
Não há fator comum entre 16 e 15 além de 1, então esta é a forma irredutível.

Resposta

-\dfrac{16}{15}

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