Exercício 0.1 Calcule
\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{6} \sqrt[3]{18}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o produto das três raízes cúbicas \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{6} e \sqrt[3]{18}.
Informações dadas: os três fatores são positivos e cada um é uma raiz cúbica de um número inteiro: \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{6} e \sqrt[3]{18}.
Objetivo final: encontrar o valor numérico de \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{18}.

Passo 2

Vamos lembrar de uma propriedade chave de potências e raízes: a raiz cúbica pode ser escrita como potência com expoente \tfrac{1}{3}. Ou seja,
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Com isso, o produto fica
\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{18}=2^{1/3}\,6^{1/3}\,18^{1/3}.
Explicação didática: escrever raízes como potências facilita usar as regras de potências (é o mesmo conceito, só com uma notação diferente).

Passo 3

Usamos a regra que diz que potências com o mesmo expoente multiplicam-se juntando as bases dentro da mesma potência:
a^{r}b^{r}=(ab)^{r}.
Aqui r=\tfrac{1}{3}, portanto
2^{1/3}\,6^{1/3}\,18^{1/3}=(2\cdot6\cdot18)^{1/3}.
Justificativa rápida: (2^{1/3}6^{1/3}18^{1/3})^3=2\cdot6\cdot18, então a quantidade original é a raiz cúbica de 2\cdot6\cdot18.

Passo 4

Agora calculamos o produto interno passo a passo:
2\cdot6=12,
12\cdot18=216.
Logo obtivemos
(2\cdot6\cdot18)^{1/3}=216^{1/3}=\sqrt[3]{216}.

Passo 5

Fatoramos 216 para ver se é um cubo perfeito:
2=2,\quad 6=2\cdot3,\quad 18=2\cdot3^2.
Multiplicando:
2\cdot6\cdot18=2\cdot(2\cdot3)\cdot(2\cdot3^2)=2^3\cdot3^3=(2\cdot3)^3=6^3.
Portanto 216=6^3.

Passo 6

Substituindo na raiz cúbica:
\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^3}.
Usamos a identidade (para raízes ímpares e números reais): \sqrt[3]{a^3}=a. Aplicando essa identidade obtemos o resultado final do produto.

Resposta

\;6\;

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