Exercício 0.6 Simplifique as expressões abaixo
\left(125^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{1}{2}}+343^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(125^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{1}{2}}+343^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}.
Informações dadas: os três termos dentro dos parênteses são potências com expoentes racionais \frac{2}{3}, \frac{1}{2} e \frac{1}{3}. A tarefa é calcular esse valor numérico simplificado (usar raízes e potências básicas).

Passo 2

Regra importante sobre expoentes racionais: para a>0 e inteiros m e n>0,
a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}.
Isto significa que a^{\frac{1}{n}} é a raiz n-ésima principal de a (o valor não negativo quando n é par). Então, por exemplo, a^{\frac{2}{3}}=(a^{\frac{1}{3}})^2 e a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}. Vamos aplicar isso termo a termo. Não se assuste: são raízes de números pequenos e conhecidos.

Passo 3

Calcule 125^{\frac{2}{3}} usando a regra acima:
125^{\frac{2}{3}}=\left(125^{\frac{1}{3}}\right)^2.
A raiz cúbica de 125 é 5, porque 5^3=125. Logo,
125^{\frac{2}{3}}=5^2=25.

Passo 4

Calcule 16^{\frac{1}{2}}. Por definição,
16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}.
Como 4^2=16, temos
16^{\frac{1}{2}}=4.

Passo 5

Calcule 343^{\frac{1}{3}}. Isto é a raiz cúbica de 343. Como 7^3=343, temos
343^{\frac{1}{3}}=7.

Passo 6

Agora somamos os resultados dentro dos parênteses:
125^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{1}{2}}+343^{\frac{1}{3}}=25+4+7.
Somando,
25+4+7=36.

Passo 7

Finalmente aplicamos o expoente externo \frac{1}{2}, ou seja, a raiz quadrada de 36. A raiz quadrada principal (não negativa) de 36 é 6, porque 6^2=36. Assim,
\left(125^{\frac{2}{3}}+16^{\frac{1}{2}}+343^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{36}=6.

Resposta

6

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