Exercício 3.7 Calcule o gradiente das funções escalare a seguir:
,
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
e pede para calcular o gradiente dessa função.
Dados importantes extraídos do enunciado:
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A função é
definida por . - O que se pede: o vetor gradiente
, ou seja, as derivadas parciais de em relação a e a .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos representá‑lo (isso é pra você lembrar na hora da prova).
- Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Significado prático: para obter
trata‑se como constante e derivamos em relação a ; para tratamos como constante e derivamos em relação a .
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo, para não esquecer):
- Regra do produto: se
, então
- Derivada do exponencial composto: se
, então
No nosso caso tomamos
e
. Vamos derivar
e
separadamente.
Passo 4
Derivadas de
e
(pequena “aula” prática):
- Para
:
Explicação: ao derivar
em relação a
vem
;
é constante quando derivamos em relação a
, então soma zero. Análogo para
.
- Para
, considere . Então
Pelo composto,
Passo 5
Aplicando a regra do produto para obter as derivadas parciais de
.
Cálculo de
:
Fatorando
:
Cálculo de
:
Fatorando
:
Passo 6
Interpretação rápida e exemplo numérico (útil para checar em prova):
- O gradiente aponta na direção de maior crescimento de
. Aqui ambos os componentes têm o fator comum (sempre positivo), então o sinal dos componentes é decidido pelos parênteses. - Exemplo de checagem em um ponto: em
,
Se baterem esses números no rascunho, a derivada está provavelmente correta. Vai dar certo na prova — respira, confia no processo.