Exercício 3.7 Calcule o gradiente das funções escalare a seguir:
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{(x-y)},

Passo 1

O enunciado dá a função escalar \,f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{(x-y)}\, e pede para calcular o gradiente dessa função.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função é \,f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\, definida por \,f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{(x-y)}.
  • O que se pede: o vetor gradiente \nabla f(x,y), ou seja, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá‑lo (isso é pra você lembrar na hora da prova).
  • Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Significado prático: para obter \frac{\partial f}{\partial x} trata‑se y como constante e derivamos em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo, para não esquecer):
  • Regra do produto: se \,f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Derivada do exponencial composto: se v(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=e^{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial y}.
No nosso caso tomamos u(x,y)=x^{2}+y^{2} e v(x,y)=e^{(x-y)}. Vamos derivar u e v separadamente.

Passo 4

Derivadas de u e v (pequena “aula” prática):
  • Para u(x,y)=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Explicação: ao derivar x^{2} em relação a x vem 2x; y^{2} é constante quando derivamos em relação a x, então soma zero. Análogo para \partial u/\partial y.
  • Para v(x,y)=e^{(x-y)}, considere g(x,y)=x-y. Então
\frac{\partial g}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-1.
Pelo composto,
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{(x-y)}\cdot 1 = e^{(x-y)}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=e^{(x-y)}\cdot (-1) = -e^{(x-y)}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto para obter as derivadas parciais de f.
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x} = (2x)\,e^{(x-y)} + (x^{2}+y^{2})\,e^{(x-y)}.
Fatorando e^{(x-y)}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{(x-y)}\bigl(2x + x^{2}+y^{2}\bigr) = e^{(x-y)}\bigl(x^{2}+2x+y^{2}\bigr).
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y} = (2y)\,e^{(x-y)} + (x^{2}+y^{2})(-e^{(x-y)}).
Fatorando e^{(x-y)}:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{(x-y)}\bigl(2y - x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 6

Interpretação rápida e exemplo numérico (útil para checar em prova):
  • O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f. Aqui ambos os componentes têm o fator comum e^{(x-y)} (sempre positivo), então o sinal dos componentes é decidido pelos parênteses.
  • Exemplo de checagem em um ponto: em (x,y)=(1,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=e^{(1-0)}(1^{2}+2\cdot1+0^{2})=e\cdot 3 = 3e,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=e^{(1-0)}(2\cdot0 -1^{2}-0^{2})=e\cdot(-1) = -e.
Se baterem esses números no rascunho, a derivada está provavelmente correta. Vai dar certo na prova — respira, confia no processo.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(e^{(x-y)}\bigl(x^{2}+2x+y^{2}\bigr),\;e^{(x-y)}\bigl(2y-x^{2}-y^{2}\bigr)\right)

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