Exercício 3.4 Seja f(w, v)=w v^{2}+v^{3} w+3, calcule \left.\frac{\partial f(w, v)}{\partial v}\right|_{(2,1)}

Passo 1

O enunciado dá a função f(w,v)=w v^{2}+v^{3} w+3 e pede para calcular a derivada parcial de f em relação a v avaliada no ponto (w,v)=(2,1), isto é, calcular
\left.\frac{\partial f(w,v)}{\partial v}\right|_{(2,1)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(w,v)=w v^{2}+v^{3} w+3.
  • O ponto onde avaliar é (w,v)=(2,1).
  • Deve-se tomar a derivada parcial em relação a v (isto significa: variar v mantendo w fixo).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada parcial de f em relação a v, escrita \dfrac{\partial f}{\partial v}, mede a taxa de variação de f quando apenas v muda e w fica fixo.
  • Na prática, ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial v} tratamos w como uma constante e diferenciamos f em relação a v usando as regras usuais de derivação (regra da potência e linearidade).
  • Regra da potência (aplicada a v^n): a derivada de v^{n} em relação a v é n v^{n-1}.
  • Regra da constância: a derivada de uma constante (ou de um termo que não depende de v) em relação a v é zero.
    Exemplo rápido e simples: se g(v)=a v^{3} com a constante, então \dfrac{dg}{dv}=3a v^{2}.

Passo 3

Aplicando essas ideias ao nosso f(w,v). Primeiro, reescrevemos os termos de forma clara:
f(w,v)=w v^{2}+w v^{3}+3.
Agora derivamos termo a termo em relação a v, lembrando que w é constante:
  • Derivada de w v^{2} em relação a v é w vezes a derivada de v^{2}, ou seja w\cdot 2v.
  • Derivada de w v^{3} em relação a v é w vezes a derivada de v^{3}, ou seja w\cdot 3v^{2}.
  • Derivada de 3 em relação a v é 0.
    Portanto, juntando:
\frac{\partial f}{\partial v}(w,v)=w\cdot 2v + w\cdot 3v^{2}.
Podemos fatorar w se quisermos:
\frac{\partial f}{\partial v}(w,v)=w\bigl(2v+3v^{2}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos a expressão encontrada no ponto (w,v)=(2,1). Substituindo w=2 e v=1:
\left.\frac{\partial f}{\partial v}(w,v)\right|_{(2,1)} = 2\bigl(2\cdot 1 + 3\cdot 1^{2}\bigr).
Calcule passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad 3\cdot 1^{2}=3,\qquad 2+3=5,
2\cdot 5 = 10.
Logo o valor pedido é 10.

Resposta

10

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