O enunciado dá a função f(w,v)=w v^{2}+v^{3} w+3 e pede para calcular a derivada parcial de f em relação a v avaliada no ponto (w,v)=(2,1), isto é, calcular
Deve-se tomar a derivada parcial em relação a v (isto significa: variar v mantendo w fixo).
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
A derivada parcial de f em relação a v, escrita \dfrac{\partial f}{\partial v}, mede a taxa de variação de f quando apenas v muda e w fica fixo.
Na prática, ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial v} tratamos w como uma constante e diferenciamos f em relação a v usando as regras usuais de derivação (regra da potência e linearidade).
Regra da potência (aplicada a v^n): a derivada de v^{n} em relação a v é n v^{n-1}.
Regra da constância: a derivada de uma constante (ou de um termo que não depende de v) em relação a v é zero.
Exemplo rápido e simples: se g(v)=a v^{3} com a constante, então \dfrac{dg}{dv}=3a v^{2}.
Passo 3
Aplicando essas ideias ao nosso f(w,v). Primeiro, reescrevemos os termos de forma clara:
f(w,v)=w v^{2}+w v^{3}+3.
Agora derivamos termo a termo em relação a v, lembrando que w é constante:
Derivada de w v^{2} em relação a v é w vezes a derivada de v^{2}, ou seja w\cdot 2v.
Derivada de w v^{3} em relação a v é w vezes a derivada de v^{3}, ou seja w\cdot 3v^{2}.
Derivada de 3 em relação a v é 0.
Portanto, juntando: