Exercício 3 Calcule
onde
e
são dados:
e
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
e
são dados por
e
é o quadrado com vértices
e
. As informações relevantes que temos são:
- A função
é quociente de (entire, i.e. inteira) por . - Pontos onde
pode deixar de ser analítica: zeros de ou pontos onde não está definido. - O conjunto
é a fronteira do quadrado dado; observação importante: o ponto aparece entre as coordenadas indicadas nos vértices (explicitamente é um dos pontos mencionados), portanto convém verificar se pertence a .
Passo 2
Encontrar as singularidades ocasionadas por
.
A equação
ocorre quando o argumento do log satisfaz
, porque
. Assim:
Também é útil recordar que a função
pode ser multivalorada, mas as soluções de
exigem
, logo a única solução é
. Outros possíveis problemas do log (como ramo) dependem de pontos onde
atinge o eixo real negativo ou
; vamos checar isso em seguida quanto à região do quadrado.
Passo 3
Classificar a singularidade em
.
Usamos a expansão padrão
para
pequeno. Coloque
. Então, perto de
,
Assim o denominador se anula linearmente em
. Portanto
tem um pólo simples em
. Para calcular o resíduo em
(útil caso se queira valor da contribuição isolada),
Usando
obtemos
Aqui expliquei o cálculo do resíduo passo a passo: multiplicou-se por
para cancelar o fator linear do denominador e avaliou-se o resto da função em
.
Passo 4
Verificar a posição da singularidade em relação ao contorno
.
Pelo enunciado, os vértices do quadrado incluem
. Logo o ponto
pertence à fronteira
(ele é um dos vértices do quadrado, ou, na leitura alternativa do enunciado, fica na aresta do quadrado). Em qualquer caso,
.
Isto é crucial: a integral de contorno habitual
pede que a função
seja contínua ao longo do caminho
. Mas em
temos denominador nulo, logo
não é nem definida nem contínua nesse ponto do contorno.
Passo 5
Consequência e conclusão sobre a integral pedida.
A teoria padrão (teorema dos resíduos, teorema de Cauchy) exige que a função seja analítica em uma vizinhança da curva
salvo em um número finito de singularidades estritamente no interior da curva. Se houver uma singularidade sobre a própria curva
, as hipóteses do teorema não se aplicam e a integral, como está formulada, não é bem definida (é uma integral imprópria que depende da maneira como se contorna a singularidade).
Portanto, não se pode aplicar diretamente o teorema dos resíduos para obter um valor numérico da integral sem especificar um procedimento adicional (por exemplo, desviar a curva por um pequeno semicírculo ao redor de
pelo interior ou exterior e depois tomar limite). Ou seja, a integral tradicional
não existe enquanto integral de contorno regular por
não ser contínua em todo
.
Observação didática (opcional): se for desejado definir uma integral por valor principal (principal value) obtida desviando
para contornar
por um semicírculo pequeno pelo interior da região e depois tomar o limite, a contribuição do pequeno semicírculo tende a
vezes o resíduo (metade da contribuição
de um pólo totalmente interior), de modo que o valor principal seria
mas isto exige justificar a escolha do desvio (interior/exterior) e interpretar a integral como valor principal. Como o enunciado não instrui a tomar valor principal nem um desvio, a resposta correta e rigorosa é que a integral original não está definida.
Resposta
A integral
não está definida, pois
em
e esse ponto pertence ao contorno
.