Exercício 3 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\frac{z e^{z}}{\log (2 z+3)} e \gamma é o quadrado de vértices \pm 1 e \pm i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\int_{\gamma} f(z)\,dz
onde f e \gamma são dados por
f(z)=\frac{z e^{z}}{\log(2z+3)}
e \gamma é o quadrado com vértices \pm 1 e \pm i. As informações relevantes que temos são:
  • A função f é quociente de z e^{z} (entire, i.e. inteira) por \log(2z+3).
  • Pontos onde f pode deixar de ser analítica: zeros de \log(2z+3) ou pontos onde \log(2z+3) não está definido.
  • O conjunto \gamma é a fronteira do quadrado dado; observação importante: o ponto z=-1 aparece entre as coordenadas indicadas nos vértices (explicitamente -1 é um dos pontos mencionados), portanto convém verificar se z=-1 pertence a \gamma.

Passo 2

Encontrar as singularidades ocasionadas por \log(2z+3).
A equação \log(2z+3)=0 ocorre quando o argumento do log satisfaz 2z+3=1, porque \log(1)=0. Assim:
2z+3=1 \quad\Rightarrow\quad z=-1.
Também é útil recordar que a função \log w pode ser multivalorada, mas as soluções de \log(2z+3)=0 exigem 2z+3=e^{0}=1, logo a única solução é z=-1. Outros possíveis problemas do log (como ramo) dependem de pontos onde 2z+3 atinge o eixo real negativo ou 0; vamos checar isso em seguida quanto à região do quadrado.

Passo 3

Classificar a singularidade em z=-1.
Usamos a expansão padrão \log(1+w)=w-\tfrac{w^2}{2}+\cdots para w pequeno. Coloque w=2(z+1). Então, perto de z=-1,
\log(2z+3)=\log(1+2(z+1))=2(z+1)+O\big((z+1)^2\big).
Assim o denominador se anula linearmente em z=-1. Portanto f tem um pólo simples em z=-1. Para calcular o resíduo em z=-1 (útil caso se queira valor da contribuição isolada),
\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{z e^{z}}{\log(2z+3)}.
Usando \log(2z+3)\sim 2(z+1) obtemos
\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to-1}\frac{z e^{z}(z+1)}{2(z+1)}=\frac{(-1)e^{-1}}{2}=-\frac{1}{2e}.
Aqui expliquei o cálculo do resíduo passo a passo: multiplicou-se por (z+1) para cancelar o fator linear do denominador e avaliou-se o resto da função em z=-1.

Passo 4

Verificar a posição da singularidade em relação ao contorno \gamma.
Pelo enunciado, os vértices do quadrado incluem -1. Logo o ponto z=-1 pertence à fronteira \gamma (ele é um dos vértices do quadrado, ou, na leitura alternativa do enunciado, fica na aresta do quadrado). Em qualquer caso, z=-1\in\gamma.
Isto é crucial: a integral de contorno habitual \int_{\gamma} f(z)\,dz pede que a função f seja contínua ao longo do caminho \gamma. Mas em z=-1 temos denominador nulo, logo f não é nem definida nem contínua nesse ponto do contorno.

Passo 5

Consequência e conclusão sobre a integral pedida.
A teoria padrão (teorema dos resíduos, teorema de Cauchy) exige que a função seja analítica em uma vizinhança da curva \gamma salvo em um número finito de singularidades estritamente no interior da curva. Se houver uma singularidade sobre a própria curva \gamma, as hipóteses do teorema não se aplicam e a integral, como está formulada, não é bem definida (é uma integral imprópria que depende da maneira como se contorna a singularidade).
Portanto, não se pode aplicar diretamente o teorema dos resíduos para obter um valor numérico da integral sem especificar um procedimento adicional (por exemplo, desviar a curva por um pequeno semicírculo ao redor de z=-1 pelo interior ou exterior e depois tomar limite). Ou seja, a integral tradicional \int_{\gamma} f(z)\,dz não existe enquanto integral de contorno regular por f não ser contínua em todo \gamma.
Observação didática (opcional): se for desejado definir uma integral por valor principal (principal value) obtida desviando \gamma para contornar z=-1 por um semicírculo pequeno pelo interior da região e depois tomar o limite, a contribuição do pequeno semicírculo tende a \pi i vezes o resíduo (metade da contribuição 2\pi i de um pólo totalmente interior), de modo que o valor principal seria
\operatorname{PV}\int_{\gamma} f(z)\,dz = \pi i\cdot\operatorname{Res}(f,-1) = \pi i\left(-\frac{1}{2e}\right)=-\frac{\pi i}{2e},
mas isto exige justificar a escolha do desvio (interior/exterior) e interpretar a integral como valor principal. Como o enunciado não instrui a tomar valor principal nem um desvio, a resposta correta e rigorosa é que a integral original não está definida.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{\gamma} \frac{z e^{z}}{\log(2z+3)}\,dz não está definida, pois \log(2z+3)=0 em z=-1 e esse ponto pertence ao contorno \gamma.

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