Exercício 6 Calcule
, onde
é qualquer curva simples fechada e
está (a) fora da região
e da região limitada por
, (b) pertence à região limitada por
.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha complexa
onde
é uma curva simples e fechada. Pede-se o valor dessa integral em dois casos:
(a) está fora da região limitada por
(isto é,
não está no interior de
);
(b) pertence à região limitada por
(isto é,
está no interior de
).
(a)
(b)
Observação importante que usarei na resolução: vou assumir, por convenção usual, que
é percorrida com orientação positiva (sentido anti-horário). Se a orientação for oposta, o sinal dos resultados muda.
Passo 2
Entender a função que aparece na integral e uma ferramenta básica.
A função que integrande é
. Essa função tem uma singularidade simples (um pólo simples) em
. Em qualquer ponto
a função é holomorfa (analítica): ela é diferenciável complexamente e tem derivadas de todas as ordens.
Um teorema fundamental que vou usar (sem demonstração detalhada, mas com a ideia) é o Teorema de Cauchy: se uma função é holomorfa em uma região que contém o interior de
e a própria curva
, então
Vou aplicar esse princípio no caso (a), pois se
está fora do interior de
então
é holomorfa em toda a região limitada por
e sobre
.
Passo 3
Caso (a):
está fora da região limitada por
.
Como dito, quando
não está no interior de
a função
é holomorfa em uma vizinhança que contém o interior de
e
em si. Pelo Teorema de Cauchy segue que
Portanto o valor da integral no caso (a) é
.
Passo 4
Caso (b):
pertence à região limitada por
(ou seja,
está dentro de
).
Estratégia: computar a integral num caso simples (uma circunferência centrada em
) e depois argumentar que qualquer curva simples fechada que envolva
dá o mesmo valor (desde que a orientação seja a mesma), usando que entre a curva original e a pequena circunferência a função é holomorfa.
- Cálculo direto numa circunferência centrada em
.
Escolha a circunferência orientada positivamente dada por
com
suficientemente pequeno para caber dentro da região limitada por
. Então
e
Substituindo na integral (escrevendo-a em parâmetros):
Portanto para esta circunferência centrada em
a integral vale
.
- Generalização para qualquer curva simples fechada que envolva
.
Se
é qualquer curva simples fechada que contenha
no interior, pode-se traçar uma pequena circunferência
centrada em
que fique totalmente dentro do interior de
. A região entre
e
não contém singularidades de
, porque a única singularidade é em
e essa está dentro de
. Assim, aplicando o Teorema de Cauchy na região anelar entre
e
, conclui-se que as integrais ao longo de
e de
são iguais (desde que as orientações correspondam). Como já calculamos que a integral sobre
é
, segue que
Observação final sobre orientação: se
for percorrida no sentido horário (orientação negativa), o resultado do caso (b) será
. No caso (a) o resultado continua
independentemente da orientação.
Passo 5
Breve comentário extra (útil para a prova): interpretação pelo Teorema dos Resíduos.
A função
tem um pólo simples em
com resíduo
O Teorema dos Resíduos diz que a integral ao longo de
é
vezes a soma dos resíduos dentro de
. Assim, se
está fora, soma de resíduos é
e a integral é
; se
está dentro, soma de resíduos é
e a integral é
(com sinal conforme a orientação). Isso é uma forma rápida e poderosa de lembrar o resultado.
Resposta
(a)
(b)
(b)