Exercício 6 Calcule \oint_{C} \frac{d z}{z-a}, onde C é qualquer curva simples fechada e z=a está (a) fora da região C e da região limitada por C, (b) pertence à região limitada por C.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha complexa
\oint_{C}\frac{dz}{z-a},
onde C é uma curva simples e fechada. Pede-se o valor dessa integral em dois casos:
(a) z=a está fora da região limitada por C (isto é, a não está no interior de C);
(b) z=a pertence à região limitada por C (isto é, a está no interior de C).
Observação importante que usarei na resolução: vou assumir, por convenção usual, que C é percorrida com orientação positiva (sentido anti-horário). Se a orientação for oposta, o sinal dos resultados muda.

Passo 2

Entender a função que aparece na integral e uma ferramenta básica.
A função que integrande é f(z)=\dfrac{1}{z-a}. Essa função tem uma singularidade simples (um pólo simples) em z=a. Em qualquer ponto z\neq a a função é holomorfa (analítica): ela é diferenciável complexamente e tem derivadas de todas as ordens.
Um teorema fundamental que vou usar (sem demonstração detalhada, mas com a ideia) é o Teorema de Cauchy: se uma função é holomorfa em uma região que contém o interior de C e a própria curva C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
Vou aplicar esse princípio no caso (a), pois se a está fora do interior de C então f(z)=1/(z-a) é holomorfa em toda a região limitada por C e sobre C.

Passo 3

Caso (a): a está fora da região limitada por C.
Como dito, quando a não está no interior de C a função f(z)=\dfrac{1}{z-a} é holomorfa em uma vizinhança que contém o interior de C e C em si. Pelo Teorema de Cauchy segue que
\oint_{C}\frac{dz}{z-a}=0.
Portanto o valor da integral no caso (a) é 0.

Passo 4

Caso (b): a pertence à região limitada por C (ou seja, a está dentro de C).
Estratégia: computar a integral num caso simples (uma circunferência centrada em a) e depois argumentar que qualquer curva simples fechada que envolva a dá o mesmo valor (desde que a orientação seja a mesma), usando que entre a curva original e a pequena circunferência a função é holomorfa.
  1. Cálculo direto numa circunferência centrada em a.
Escolha a circunferência orientada positivamente dada por
\gamma(t)=a+re^{it},\qquad t\in[0,2\pi],
com r>0 suficientemente pequeno para caber dentro da região limitada por C. Então d\gamma(t)=ir e^{it}\,dt e
\frac{1}{\gamma(t)-a}=\frac{1}{re^{it}}.
Substituindo na integral (escrevendo-a em parâmetros):
\oint_{\gamma}\frac{dz}{z-a}=\int_{0}^{2\pi}\frac{ir e^{it}}{re^{it}}\,dt=\int_{0}^{2\pi} i\,dt = i\bigl[ t\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi i.
Portanto para esta circunferência centrada em a a integral vale 2\pi i.
  1. Generalização para qualquer curva simples fechada que envolva a.
Se C é qualquer curva simples fechada que contenha a no interior, pode-se traçar uma pequena circunferência \gamma centrada em a que fique totalmente dentro do interior de C. A região entre C e \gamma não contém singularidades de f(z)=1/(z-a), porque a única singularidade é em z=a e essa está dentro de \gamma. Assim, aplicando o Teorema de Cauchy na região anelar entre C e \gamma, conclui-se que as integrais ao longo de C e de \gamma são iguais (desde que as orientações correspondam). Como já calculamos que a integral sobre \gamma é 2\pi i, segue que
\oint_{C}\frac{dz}{z-a}=2\pi i.
Observação final sobre orientação: se C for percorrida no sentido horário (orientação negativa), o resultado do caso (b) será -2\pi i. No caso (a) o resultado continua 0 independentemente da orientação.

Passo 5

Breve comentário extra (útil para a prova): interpretação pelo Teorema dos Resíduos.
A função \dfrac{1}{z-a} tem um pólo simples em z=a com resíduo
\operatorname{Res}_{z=a}\frac{1}{z-a}=1.
O Teorema dos Resíduos diz que a integral ao longo de C é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dentro de C. Assim, se a está fora, soma de resíduos é 0 e a integral é 0; se a está dentro, soma de resíduos é 1 e a integral é 2\pi i (com sinal conforme a orientação). Isso é uma forma rápida e poderosa de lembrar o resultado.

Resposta

(a) 0
(b) 2\pi i

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