Exercício 3 Calcule
onde
e
são dados:
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
onde
e
é o círculo dado por
Informações extraídas e perguntas específicas:
- O contorno
é o círculo cuja equação em coordenadas cartesianas é . - A função
tem possíveis singularidades em pontos onde o denominador , isto é em e . - A função
tem ponto crítico (zero do argumento) em e, portanto, um ponto de ramificação em ; isso requer atenção ao escolher o ramo do logaritmo e ao posicionamento do corte de ramo. - A pergunta é: qual é o valor numérico de
?
Passo 2
Caracterizar geometricamente o contorno
(isso facilita ver que pontos estão dentro ou fora).
Completa-se o quadrado em :
Completa-se o quadrado em
Logo,
é o círculo de centro
e raio
.
Agora verificar a posição dos pontos importantes em relação a esse disco centrado em
e raio
.
- Distância do centro a
:
portanto
está estritamente fora do disco interior a
.
- Distância do centro a
:
portanto
está fora.
- Distância do centro a
:
portanto
(o ponto de ramificação de
) também está fora do disco fechado determinado por
.
Concluímos: os eventuais pontos problemáticos
estão todos fora da região interior a
.
Passo 3
Explicar o papel do ramo do logaritmo e justificar que podemos aplicar teoremas de contorno.
- A função
é multivalorada; para que seja uma função holomorfa num domínio é preciso escolher um ramo (ou um corte) de forma que o argumento não atravesse o corte do logaritmo. - Como o ponto de ramificação
está fora da região fechada interior a , é sempre possível escolher um corte (uma curva que liga ao infinito) que não intercepte a região fechada composta pela interior de mais própria. Em outras palavras, existe um ramo de que é holomorfo em um domínio aberto que contém o disco fechado limitado por . - Além disso, o denominador
não zera no interior nem sobre (conferimos estão fora). Portanto, com a escolha adequada de ramo do logaritmo, a função é holomorfa (analítica) numa vizinhança aberta que contém o fecho do interior de .
(Comentário prático: se o corte do log fosse forçado a atravessar
, aí teríamos que analisar mais cuidadosamente; mas como o ponto de ramificação está fora do disco há liberdade para escolher o corte fora do disco.)
Passo 4
Aplicar o Teorema de Cauchy / Teorema da integral de contorno.
- Teorema de Cauchy (forma básica): se uma função é holomorfa em uma região aberta simplesmente conexa que contém um contorno fechado
e seu interior, então
- Pelo argumento do Passo 3,
é holomorfa em um domínio que contém e o interior de . Então a hipótese do teorema é satisfeita.
Passo 5
Concluir o valor da integral com base no teorema aplicado.
Pelo Teorema de Cauchy, como é holomorfa na região que contém
e seu interior,
Pelo Teorema de Cauchy, como
Resposta
0