Exercício 3 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\frac{\log (z+i)}{z^{2}-9} e \gamma é o círculo x^{2}+y^{2}+2 x=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\int_{\gamma} f(z)\,dz
onde
f(z)=\frac{\log(z+i)}{z^{2}-9}
e \gamma é o círculo dado por
x^{2}+y^{2}+2x=0.
Informações extraídas e perguntas específicas:
  • O contorno \gamma é o círculo cuja equação em coordenadas cartesianas é x^{2}+y^{2}+2x=0.
  • A função f tem possíveis singularidades em pontos onde o denominador \,z^{2}-9=0, isto é em z=3 e z=-3.
  • A função \log(z+i) tem ponto crítico (zero do argumento) em z=-i e, portanto, um ponto de ramificação em z=-i; isso requer atenção ao escolher o ramo do logaritmo e ao posicionamento do corte de ramo.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico de \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\log(z+i)}{z^{2}-9}\,dz?

Passo 2

Caracterizar geometricamente o contorno \gamma (isso facilita ver que pontos estão dentro ou fora).
Completa-se o quadrado em x:
x^{2}+2x+1+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^{2}+y^{2}=1.
Logo, \gamma é o círculo de centro (-1,0) e raio 1.
Agora verificar a posição dos pontos importantes em relação a esse disco centrado em (-1,0) e raio 1.
  • Distância do centro a z=3:
\lvert 3-(-1)\rvert = \lvert 4\rvert = 4 > 1,
portanto z=3 está estritamente fora do disco interior a \gamma.
  • Distância do centro a z=-3:
\lvert -3-(-1)\rvert = \lvert -2\rvert = 2 > 1,
portanto z=-3 está fora.
  • Distância do centro a z=-i:
\lvert -i-(-1)\rvert = \lvert 1-i\rvert = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}>1,
portanto z=-i (o ponto de ramificação de \log(z+i)) também está fora do disco fechado determinado por \gamma.
Concluímos: os eventuais pontos problemáticos z=3,\,-3,\,-i estão todos fora da região interior a \gamma.

Passo 3

Explicar o papel do ramo do logaritmo e justificar que podemos aplicar teoremas de contorno.
  • A função \log(w) é multivalorada; para que \log(z+i) seja uma função holomorfa num domínio é preciso escolher um ramo (ou um corte) de forma que o argumento w=z+i não atravesse o corte do logaritmo.
  • Como o ponto de ramificação z=-i está fora da região fechada interior a \gamma, é sempre possível escolher um corte (uma curva que liga z=-i ao infinito) que não intercepte a região fechada composta pela interior de \gamma mais \gamma própria. Em outras palavras, existe um ramo de \log(z+i) que é holomorfo em um domínio aberto que contém o disco fechado limitado por \gamma.
  • Além disso, o denominador z^{2}-9 não zera no interior nem sobre \gamma (conferimos z=\pm3 estão fora). Portanto, com a escolha adequada de ramo do logaritmo, a função f(z)=\dfrac{\log(z+i)}{z^{2}-9} é holomorfa (analítica) numa vizinhança aberta que contém o fecho do interior de \gamma.
(Comentário prático: se o corte do log fosse forçado a atravessar \gamma, aí teríamos que analisar mais cuidadosamente; mas como o ponto de ramificação está fora do disco há liberdade para escolher o corte fora do disco.)

Passo 4

Aplicar o Teorema de Cauchy / Teorema da integral de contorno.
  • Teorema de Cauchy (forma básica): se uma função é holomorfa em uma região aberta simplesmente conexa que contém um contorno fechado \gamma e seu interior, então
\int_{\gamma} \text{(função holomorfa)}\,dz = 0.çã
  • Pelo argumento do Passo 3, f é holomorfa em um domínio que contém \gamma e o interior de \gamma. Então a hipótese do teorema é satisfeita.

Passo 5

Concluir o valor da integral com base no teorema aplicado.
Pelo Teorema de Cauchy, como f é holomorfa na região que contém \gamma e seu interior,
\int_{\gamma}\frac{\log(z+i)}{z^{2}-9}\,dz = 0.

Resposta

0

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