Exercício 1 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=2 x-y+i x^{2} ao longo do segmento retilíneo de zero a 1+i.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz onde foi dado:
  • A função f é \displaystyle f(z)=2x-y+i x^{2}, sendo x=\Re(z) e y=\Im(z).
  • O caminho \gamma é o segmento retilíneo de 0 até 1+i.
Informações relevantes fornecidas: \gamma liga os pontos 0 e 1+i; em qualquer ponto z=x+iy usamos x e y na expressão de f. O que precisa ser computado é a integral de linha complexa \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz.

Passo 2

Regra prática para integrais de linha complexas que vamos usar:
Se \gamma for parametrizada por z(t) com t\in[a,b], então a integral complexa é
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.
Explicando: z(t) é a posição no plano para cada t; z'(t) é a velocidade (derivada) dessa parametrização; f(z(t)) é a função complexa avaliada ao longo do caminho. Multiplicando f(z(t)) por z'(t) e integrando em t obtemos a integral ao longo de \gamma.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de 0 a 1+i. A parametrização mais simples é
z(t)=t(1+i),\qquad t\in[0,1].
Dessa parametrização segue que
x(t)=\Re\bigl(z(t)\bigr)=t,\qquad y(t)=\Im\bigl(z(t)\bigr)=t,
e
z'(t)=1+i.
(Dica intuitiva: quando t vai de 0 a 1, z(t) vai de 0 a 1+i andando na reta que une os pontos.)

Passo 4

Avaliar f ao longo da curva: substituir x(t)=t e y(t)=t em \displaystyle f(z)=2x-y+i x^{2}:
f\bigl(z(t)\bigr)=2t-t+i t^{2}=t+i t^{2}.

Passo 5

Formar o integrando f(z(t))\,z'(t) e simplificar:
f\bigl(z(t)\bigr)z'(t)=(t+i t^{2})(1+i).
Fazendo a multiplicação:
(t+i t^{2})(1+i)=t(1+i)+i t^{2}(1+i).
Expandindo e agrupando termos reais e imaginários:
t(1+i)=t + i t,
i t^{2}(1+i)=i t^{2} + i^{2} t^{2}=i t^{2}-t^{2}.
Somando:
(t+i t^{2})(1+i)=(t - t^{2}) + i\,(t + t^{2}).

Passo 6

Integrar em t de 0 a 1:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{0}^{1}\bigl[(t - t^{2}) + i\,(t + t^{2})\bigr]\,dt.
Integramos parte real e parte imaginária separadamente:
\int_{0}^{1}(t - t^{2})\,dt=\left[\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6},
\int_{0}^{1}(t + t^{2})\,dt=\left[\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{6}.
Portanto
\int_{\gamma} f(z)\,dz=\tfrac{1}{6}+i\cdot\tfrac{5}{6}=\frac{1+5i}{6}.

Resposta

\dfrac{1+5i}{6}

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