Exercício 1 Calcule
onde
e
são dados:
ao longo do segmento retilíneo de zero a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde foi dado:
- A função
é , sendo e . - O caminho
é o segmento retilíneo de até .
Informações relevantes fornecidas:
liga os pontos
e
; em qualquer ponto
usamos
e
na expressão de
. O que precisa ser computado é a integral de linha complexa
.
Passo 2
Regra prática para integrais de linha complexas que vamos usar:
Se for parametrizada por
com
, então a integral complexa é
Se
Explicando:
é a posição no plano para cada
;
é a velocidade (derivada) dessa parametrização;
é a função complexa avaliada ao longo do caminho. Multiplicando
por
e integrando em
obtemos a integral ao longo de
.
Passo 3
Parametrizamos o segmento de
a
. A parametrização mais simples é
Dessa parametrização segue que
e
(Dica intuitiva: quando
vai de
a
,
vai de
a
andando na reta que une os pontos.)
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: substituir
e
em
:
Passo 5
Formar o integrando
e simplificar:
Fazendo a multiplicação:
Expandindo e agrupando termos reais e imaginários:
Somando:
Passo 6
Integrar em
de
a
:
Integramos parte real e parte imaginária separadamente:
Portanto