Dê a interpretação fisica do problema de valor inicial e de contorno e ache a solução:
\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, & 0<x<10 \\\ u(0, t)=0, & u(10, t)=0 \\\ u(x, 0)=1 & e \end{array}

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte problema (peguei todos os dados do enunciado):
  • Equação diferencial parcial:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},\qquad 0<x<10,\; t>0.
  • Condições de contorno (fixas nas extremidades):
u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0,\qquad \text{para todo }t\ge 0.
  • Condição inicial de deslocamento:
u(x,0)=1\quad\text{para }0<x<10.
  • Observação: o enunciado não informou explicitamente a condição inicial para a velocidade \,u_t(x,0)\,. Vou tratar \,u_t(x,0)=g(x)\, como uma função arbitrária desconhecida e, quando conveniente, comentar o caso particular \,g(x)=0. Também notei que a condição u(x,0)=1 dá valor diferente de zero no interior, enquanto as condições de contorno impõem u(0,t)=u(10,t)=0; normalmente consideramos a condição inicial definida no intervalo aberto (0,10) e a expansão em senos impõe automaticamente o zero nas extremidades.

Passo 2

Interpretação física do problema (aula rápida e direta, estilo amigo explicando):
  • Isso é o problema da corda vibrante unidimensional (ou barra elástica unidimensional com velocidade de propagação c=1), de comprimento L=10, com as duas extremidades fixas (presas).
  • A equação \,u_{tt}=u_{xx}\, descreve ondas que se propagam ao longo da corda. A função \,u(x,t)\, é o deslocamento vertical da corda no ponto x e tempo t.
  • As condições u(0,t)=u(10,t)=0 dizem que as extremidades estão presas (não se movem).
  • A condição inicial u(x,0)=1 significa que, no instante t=0, a corda está fora de equilíbrio com deslocamento unitário em todo o interior (um “pulso” ou deslocamento uniforme). A condição inicial de velocidade u_t(x,0) não foi dada; se for zero, a corda é largada a partir do repouso; se não for, a corda já tem uma velocidade inicial distribuída por x.

Passo 3

Escolha do método de solução (explicação do porquê):
  • Como o domínio em x é finito e temos condições de contorno homogêneas do tipo Dirichlet ( u=0 nas extremidades), a técnica natural é separar variáveis e expandir a solução em autofunções que satisfaçam as condições de contorno — isto é, usar a série de senos (expansão em modos normais).
  • Esse método é o padrão para a corda com extremidades fixas e é eficaz porque os senos são ortogonais e permitem reduzir o problema PDE a uma coleção de ODEs (uma para cada modo).

Passo 4

Separação de variáveis e resolução do problema de autovalores (passo-a-passo):
  • Procuro soluções do tipo produto \,u(x,t)=X(x)T(t).
  • Substituindo na equação \,u_{tt}=u_{xx}\, obtém-se
X(x)T''(t)=X''(x)T(t)\quad\Rightarrow\quad\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação (escolhemos o sinal negativo para obter modos oscilatórios).
  • Assim obtemos os problemas:
X''+\lambda X=0,\qquad T''+\lambda T=0.
  • As condições de contorno exigem X(0)=0 e X(10)=0. Procuramos \lambda>0 (modos oscilatórios).
  • Para \lambda=\left(\dfrac{n\pi}{10}\right)^2 com n=1,2,3,\dots temos as autofunções
X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right),
que satisfazem X_n(0)=X_n(10)=0.
  • Os correspondentes auto-frequências são
\omega_n=\dfrac{n\pi}{10}.
  • As soluções temporais associadas são
T_n(t)=A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t).

Passo 5

Montagem da série geral (explicando cada termo e porque):
  • A solução geral, por linearidade e ortogonalidade dos modos, é a soma dos modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Bigr)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right),
com \,\omega_n=\dfrac{n\pi}{10}\,.
  • Aqui:
    • \,A_n\, são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right) à forma inicial (deslocamento inicial).
    • \,B_n\, dependem da velocidade inicial e controlam a fase das oscilações.
  • Para encontrar A_n e B_n usamos as condições iniciais:
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)=f(x),
u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n B_n \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)=g(x),
onde no nosso caso f(x)=1 (para 0<x<10) e g(x)=u_t(x,0) é a função desconhecida.

Passo 6

Fórmulas para os coeficientes (aula sobre ortogonalidade e projeção):
  • As funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right) são ortogonais no intervalo (0,10) e a fórmula para a projeção é
A_n=\dfrac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx, \qquad \omega_n B_n=\dfrac{2}{10}\int_{0}^{10} g(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx.
  • Em termos compactos:
A_n=\dfrac{1}{5}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx, \qquad B_n=\dfrac{1}{\omega_n}\cdot\dfrac{1}{5}\int_{0}^{10} g(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx.
  • Essas fórmulas vêm da multiplicação da série por \sin(n'\pi x/10), integração em 0\le x\le10 e uso da ortogonalidade
\int_0^{10}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{10}\right)\,dx =\begin{cases}0,& n\ne m,\\[4pt]5,& n=m.\end{cases}]

Passo 7

Cálculo explícito de A_n para f(x)=1 (detalhado, sem pular etapas):
  • Substituo f(x)=1 na fórmula de A_n:
A_n=\dfrac{1}{5}\int_0^{10}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx.
  • Calculo integral passo a passo:
\int_0^{10}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx = \left[-\dfrac{10}{n\pi}\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\right]_0^{10} = -\dfrac{10}{n\pi}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr).
  • Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos 0=1, isso vira
\int_0^{10}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx = -\dfrac{10}{n\pi}\bigl((-1)^n-1\bigr) = \dfrac{10}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Logo
A_n=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{10}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\dfrac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Interpretando esse resultado:
    • Se n é par, (-1)^n=1 e A_n=0.
    • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
    A_n=\dfrac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\dfrac{2}{n\pi}\cdot 2=\dfrac{4}{n\pi}.
  • Portanto, apenas os modos ímpares são excitados pela condição inicial constante f(x)=1.

Passo 8

Expressão final da solução (colocando tudo junto; fórmula explícita e caso especial):
  • A solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)+B_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right),
com
A_n=\dfrac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr), \qquad B_n=\dfrac{1}{\omega_n}\cdot\dfrac{1}{5}\int_0^{10} g(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx, \qquad \omega_n=\dfrac{n\pi}{10}.
  • Simplificando A_n\) conforme paridade: \[A_n=\begin{cases} \dfrac{4}{n\pi},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0,& n\\ \text{par}. \end{cases}
  • Caso muito usado na prova: se a velocidade inicial for nula, isto é g(x)=u_t(x,0)=0\], então todos os \(B_n=0 e a solução simplifica para
u(x,t)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\dfrac{4}{n\pi}\cos\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right).í
  • Essa série representa a evolução temporal da configuração inicial constante (com as extremidades efetivamente mantidas em zero pela série de senos); como observado, só os harmônicos ímpares aparecem.]

Passo 9

Comentário didático sobre comportamento físico e convergência (ajuda para a prova):
  • Fisicamente, a condição inicial uniforme excita uma combinação de modos próprios (apenas os ímpares). Cada modo vibra com frequência \omega_n=\dfrac{n\pi}{10} e amplitude proporcional a A_n.
  • A decomposição em senos força u(0,t)=u(10,t)=0 em todos os instantes, mesmo que a condição u(x,0)=1 fosse especificada apenas no interior; a série senoidal “corrige” os valores nas extremidades.
  • Sobre convergência: a série de Fourier de uma função razoável (aqui uma constante no interior) converge no sentido de quadrado-integrável e ponto a ponto exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade; no nosso caso a série converge para 0 nas extremidades (compatível com as condições de contorno impostas).

Resposta

Interpretação física: É a equação da corda vibrante de comprimento 10 com extremidades fixas em x=0 e x=10; u(x,0)=1 é a forma inicial (deslocamento) e u_t(x,0) não foi fornecida (chamarei g(x)).
Solução geral:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr)\cos\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)+\dfrac{1}{\omega_n}\cdot\dfrac{1}{5}\int_0^{10} g(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{10}\right)\,ds\;\sin\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right),
com \omega_n=\dfrac{n\pi}{10}.
Caso particular u_t(x,0)=0:
u(x,t)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\dfrac{4}{n\pi}\cos\!\left(\dfrac{n\pi t}{10}\right)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{10}\right).í

Exercícios relacionados