Dê a interpretação fisica do problema de valor inicial e de contorno e ache a solução:
Passo 1
O enunciado fornece o seguinte problema (peguei todos os dados do enunciado):
- Equação diferencial parcial:
- Condições de contorno (fixas nas extremidades):
- Condição inicial de deslocamento:
- Observação: o enunciado não informou explicitamente a condição inicial para a velocidade
. Vou tratar como uma função arbitrária desconhecida e, quando conveniente, comentar o caso particular . Também notei que a condição dá valor diferente de zero no interior, enquanto as condições de contorno impõem ; normalmente consideramos a condição inicial definida no intervalo aberto e a expansão em senos impõe automaticamente o zero nas extremidades.
Passo 2
Interpretação física do problema (aula rápida e direta, estilo amigo explicando):
- Isso é o problema da corda vibrante unidimensional (ou barra elástica unidimensional com velocidade de propagação
), de comprimento , com as duas extremidades fixas (presas). - A equação
descreve ondas que se propagam ao longo da corda. A função é o deslocamento vertical da corda no ponto e tempo . - As condições
dizem que as extremidades estão presas (não se movem). - A condição inicial
significa que, no instante , a corda está fora de equilíbrio com deslocamento unitário em todo o interior (um “pulso” ou deslocamento uniforme). A condição inicial de velocidade não foi dada; se for zero, a corda é largada a partir do repouso; se não for, a corda já tem uma velocidade inicial distribuída por .
Passo 3
Escolha do método de solução (explicação do porquê):
- Como o domínio em
é finito e temos condições de contorno homogêneas do tipo Dirichlet ( nas extremidades), a técnica natural é separar variáveis e expandir a solução em autofunções que satisfaçam as condições de contorno — isto é, usar a série de senos (expansão em modos normais). - Esse método é o padrão para a corda com extremidades fixas e é eficaz porque os senos são ortogonais e permitem reduzir o problema PDE a uma coleção de ODEs (uma para cada modo).
Passo 4
Separação de variáveis e resolução do problema de autovalores (passo-a-passo):
- Procuro soluções do tipo produto
. - Substituindo na equação
obtém-se
onde
é constante de separação (escolhemos o sinal negativo para obter modos oscilatórios).
- Assim obtemos os problemas:
- As condições de contorno exigem
e . Procuramos (modos oscilatórios). - Para
com temos as autofunções
que satisfazem
.
- Os correspondentes auto-frequências são
- As soluções temporais associadas são
Passo 5
Montagem da série geral (explicando cada termo e porque):
- A solução geral, por linearidade e ortogonalidade dos modos, é a soma dos modos:
com
.
- Aqui:
-
são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo à forma inicial (deslocamento inicial). -
dependem da velocidade inicial e controlam a fase das oscilações.
-
- Para encontrar
e usamos as condições iniciais:
onde no nosso caso
(para
) e
é a função desconhecida.
Passo 6
Fórmulas para os coeficientes (aula sobre ortogonalidade e projeção):
- As funções
são ortogonais no intervalo e a fórmula para a projeção é
- Em termos compactos:
- Essas fórmulas vêm da multiplicação da série por
, integração em e uso da ortogonalidade
Passo 7
Cálculo explícito de
para
(detalhado, sem pular etapas):
- Substituo
na fórmula de :
- Calculo integral passo a passo:
- Como
e , isso vira
- Logo
- Interpretando esse resultado:
- Se
é par, e . - Se
é ímpar, e
- Se
- Portanto, apenas os modos ímpares são excitados pela condição inicial constante
.
Passo 8
Expressão final da solução (colocando tudo junto; fórmula explícita e caso especial):
- A solução geral é
com
- Simplificando
- Caso muito usado na prova: se a velocidade inicial for nula, isto é e a solução simplifica para
- Essa série representa a evolução temporal da configuração inicial constante (com as extremidades efetivamente mantidas em zero pela série de senos); como observado, só os harmônicos ímpares aparecem.]
Passo 9
Comentário didático sobre comportamento físico e convergência (ajuda para a prova):
- Fisicamente, a condição inicial uniforme excita uma combinação de modos próprios (apenas os ímpares). Cada modo vibra com frequência
e amplitude proporcional a . - A decomposição em senos força
em todos os instantes, mesmo que a condição fosse especificada apenas no interior; a série senoidal “corrige” os valores nas extremidades. - Sobre convergência: a série de Fourier de uma função razoável (aqui uma constante no interior) converge no sentido de quadrado-integrável e ponto a ponto exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade; no nosso caso a série converge para
nas extremidades (compatível com as condições de contorno impostas).
Resposta
Interpretação física: É a equação da corda vibrante de comprimento
com extremidades fixas em
e
;
é a forma inicial (deslocamento) e
não foi fornecida (chamarei
).
Solução geral:
Solução geral:
com
.
Caso particular :
Caso particular