Exercício 2. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
Informações dadas:
- Os limites internos são
de a . - Os limites externos são
de a . - A função integranda é
.
O que se quer: o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
- Para integrais sobre um retângulo (aqui
e ) podemos integrar iteradamente: primeiro em relação a (tratando como constante), depois em relação a . Isso é a aplicação da linearidade e da troca de ordem em integrais iteradas. - Usaremos as regras básicas de integração:
- Linearidade:
, onde são constantes (aqui será tratado como constante na integral em ). - Regra da potência:
para .
- Linearidade:
- Então vamos integrar termo a termo em
, depois avaliar entre e , obter uma função de e integrar essa função em de a .
Passo 3
Integrando a função em relação a
(tratando
como constante). Integramos cada termo:
Aplicando as regras:
Portanto uma primitiva em
é
Passo 4
Avaliar
entre
e
:
Subtraindo
obtemos a integranda reduzida (função só de
):
Passo 5
Agora temos uma integral simples em
:
Integramos termo a termo em
, usando novamente linearidade e a regra da potência.
Passo 6
Calcular as primitivas em
:
Portanto uma primitiva completa em
é
Passo 7
Avaliar
entre
e
.
Para
:
Calcule passo a passo:
Logo
Para
:
Calcule:
Assim
Agora subtrair
: