Exercício 2. Calcule \int_{2}^{3} \int_{1}^{5}\left(x+x^{3} y^{5}+x^{2} y\right) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\int_{2}^{3}\int_{1}^{5}\left(x+x^{3}y^{5}+x^{2}y\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Os limites internos são x de 1 a 5.
  • Os limites externos são y de 2 a 3.
  • A função integranda é x+x^{3}y^{5}+x^{2}y.
    O que se quer: o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Para integrais sobre um retângulo (aqui x\in[1,5] e y\in[2,3]) podemos integrar iteradamente: primeiro em relação a x (tratando y como constante), depois em relação a y. Isso é a aplicação da linearidade e da troca de ordem em integrais iteradas.
  • Usaremos as regras básicas de integração:
    • Linearidade: \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes (aqui y será tratado como constante na integral em x).
    • Regra da potência: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Então vamos integrar termo a termo em x, depois avaliar entre 1 e 5, obter uma função de y e integrar essa função em y de 2 a 3.

Passo 3

Integrando a função em relação a x (tratando y como constante). Integramos cada termo:
\int\left(x + x^{3}y^{5} + x^{2}y\right)\,dx = \int x\,dx + \int x^{3}y^{5}\,dx + \int x^{2}y\,dx.
Aplicando as regras:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int x^{3}y^{5}\,dx = y^{5}\cdot\frac{x^{4}}{4}, \qquad \int x^{2}y\,dx = y\cdot\frac{x^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva em x é
F(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{5}x^{4}}{4}+\frac{y x^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar F(x,y) entre x=1 e x=5:
F(5,y)=\frac{5^{2}}{2}+\frac{y^{5}5^{4}}{4}+\frac{y\,5^{3}}{3} =\frac{25}{2}+\frac{625\,y^{5}}{4}+\frac{125\,y}{3},
F(1,y)=\frac{1^{2}}{2}+\frac{y^{5}1^{4}}{4}+\frac{y\,1^{3}}{3} =\frac{1}{2}+\frac{y^{5}}{4}+\frac{y}{3}.
Subtraindo F(5,y)-F(1,y) obtemos a integranda reduzida (função só de y):
\begin{aligned} &\left(\frac{25}{2}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{625}{4}-\frac{1}{4}\right)y^{5} +\left(\frac{125}{3}-\frac{1}{3}\right)y\\[4pt] &=12 + 156\,y^{5} + \frac{124}{3}\,y. \end{aligned}]

Passo 5

Agora temos uma integral simples em y:
\int_{2}^{3}\left(12 + 156\,y^{5} + \frac{124}{3}\,y\right)\,dy.
Integramos termo a termo em y, usando novamente linearidade e a regra da potência.

Passo 6

Calcular as primitivas em y:
\int 12\,dy = 12y, \qquad \int 156\,y^{5}\,dy = 156\cdot\frac{y^{6}}{6}=26\,y^{6},
\int \frac{124}{3}\,y\,dy = \frac{124}{3}\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{62}{3}\,y^{2}.
Portanto uma primitiva completa em y é
G(y)=12y + 26\,y^{6} + \frac{62}{3}\,y^{2}.

Passo 7

Avaliar G(y) entre y=2 e y=3.
Para y=3:
G(3)=12\cdot 3 + 26\cdot 3^{6} + \frac{62}{3}\cdot 3^{2} =36 + 26\cdot 729 + \frac{62}{3}\cdot 9.
Calcule passo a passo:
26\cdot 729 = 18954,\qquad \frac{62}{3}\cdot 9 = 62\cdot 3 = 186.
Logo
G(3)=36+18954+186=19176.
Para y=2:
G(2)=12\cdot 2 + 26\cdot 2^{6} + \frac{62}{3}\cdot 2^{2} =24 + 26\cdot 64 + \frac{62}{3}\cdot 4.
Calcule:
26\cdot 64=1664,\qquad \frac{62}{3}\cdot 4=\frac{248}{3}.
Assim
G(2)=24+1664+\frac{248}{3}=1688+\frac{248}{3}=\frac{5064+248}{3}=\frac{5312}{3}.
Agora subtrair G(3)-G(2):
19176 - \frac{5312}{3} = \frac{3\cdot 19176 - 5312}{3} = \frac{57528 - 5312}{3} = \frac{52216}{3}.

Resposta

\dfrac{52216}{3}

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