Exercício 3. Calcule \int_{1}^{6} \int_{2}^{4} 2 e^{x} e^{y} d x d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{1}^{6}\int_{2}^{4} 2 e^{x} e^{y}\,dx\,dy.
As informações relevantes que temos:
  • O integrando é 2 e^{x} e^{y}.
  • A integração interna é em x com x variando de 2 a 4.
  • A integração externa é em y com y variando de 1 a 6.
    O que o exercício pede: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.

Passo 2

Observação (útil para a conta): ao integrar em x a função e^{y} é uma constante (porque y é tratado como fixo na integração interna). Então posso escrever o integrando como produto de uma constante em x e uma função de x:
2 e^{x} e^{y} = 2 e^{y}\, e^{x}.
Nesse produto, 2 e^{y} é constante em relação a x. Assim, ao fazer a integral interna em x eu posso tirar 2 e^{y} para fora da integral em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{2}^{4} 2 e^{x} e^{y}\,dx = 2 e^{y} \int_{2}^{4} e^{x}\,dx.
Lembrete rápido sobre a primitiva de e^{x}: a integral indefinida é
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
porque a derivada de e^{x} é e^{x}. Então avaliando de x=2 a x=4 temos
\int_{2}^{4} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{2}^{4} = e^{4}-e^{2}.
Portanto a integral interna fica
\int_{2}^{4} 2 e^{x} e^{y}\,dx = 2 e^{y} (e^{4}-e^{2}).

Passo 4

Agora substituímos esse resultado na integral externa em y:
\int_{1}^{6}\left(2 e^{y} (e^{4}-e^{2})\right)\,dy = 2 (e^{4}-e^{2}) \int_{1}^{6} e^{y}\,dy,
pois 2(e^{4}-e^{2}) é constante em relação a y e pode ser fatorado para fora da integral.

Passo 5

Calcular a integral em y. Usamos a mesma primitiva de e^{y}:
\int_{1}^{6} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{1}^{6} = e^{6}-e.
Substituindo,
2 (e^{4}-e^{2}) \int_{1}^{6} e^{y}\,dy = 2 (e^{4}-e^{2}) (e^{6}-e).

Passo 6

Opcional: expandir o produto para ver uma forma alternativa. Primeiro multiplicando os termos internos:
(e^{4}-e^{2})(e^{6}-e)=e^{10}-e^{8}-e^{5}+e^{3}.
Multiplicando por 2
2(e^{10}-e^{8}-e^{5}+e^{3})=2e^{10}-2e^{8}-2e^{5}+2e^{3}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada é geralmente mais compacta.

Resposta

2(e^{4}-e^{2})(e^{6}-e)

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