Exercício 3. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
As informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - A integração interna é em
com variando de a . - A integração externa é em
com variando de a .
O que o exercício pede: calcular o valor numérico exato dessa integral dupla.
Passo 2
Observação (útil para a conta): ao integrar em
a função
é uma constante (porque
é tratado como fixo na integração interna). Então posso escrever o integrando como produto de uma constante em
e uma função de
:
Nesse produto,
é constante em relação a
. Assim, ao fazer a integral interna em
eu posso tirar
para fora da integral em
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Lembrete rápido sobre a primitiva de
: a integral indefinida é
porque a derivada de
é
. Então avaliando de
a
temos
Portanto a integral interna fica
Passo 4
Agora substituímos esse resultado na integral externa em
:
pois
é constante em relação a
e pode ser fatorado para fora da integral.
Passo 5
Calcular a integral em
. Usamos a mesma primitiva de
:
Substituindo,
Passo 6
Opcional: expandir o produto para ver uma forma alternativa. Primeiro multiplicando os termos internos:
Multiplicando por
dá
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada é geralmente mais compacta.