Exercício 4. Calcule as integrais abaixo:
(a) \iint_{R}\left(x^{2} y\right) d A, \quad R=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} \left(x^{2}y\right)\,dA, \qquad R=[0,1]\times[0,1].
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x,y)=x^{2}y.
  • A região de integração R é o quadrado unitário com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que vamos usar (com explicação didática).
  • O símbolo dA representa o elemento de área diferencial na plano (x,y). Em coordenadas cartesianas, dA = dx\,dy (ou dy\,dx), e uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada.
  • Teorema útil (Fubini, em termos práticos): se f é contínua em um retângulo R=[a,b]\times[c,d], então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)\,dy.
Isto significa que podemos integrar primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x, ou o contrário.
  • Observação prática: se a função se separa como f(x,y)=g(x)\,h(y), então a integral dupla sobre o retângulo separa-se como produto de integrais simples:
\iint_{R} g(x)h(y)\,dA = \left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right).
No nosso caso f(x,y)=x^{2}y é produto de g(x)=x^{2} e h(y)=y, então podemos usar essa separação para economizar trabalho.

Passo 3

Integrando primeiro em y (padrão iterado): escrever a integral como integral iterada
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} x^{2}y\,dy\right)\,dx.
Aqui, dentro da integral interna x é tratado como constante (pois estamos integrando em relação a y). Então
\int_{0}^{1} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{0}^{1} y\,dy.
Explicando a integral \int_{0}^{1} y\,dy: pela regra da potência para antiderivadas, se n\neq -1 então
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No caso n=1, temos \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}. Portanto, avaliando entre 0 e 1,
\int_{0}^{1} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}.
Logo a integral interna é
\int_{0}^{1} x^{2}y\,dy = x^{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Aplicando novamente a regra da potência ( \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1), com n=2,
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-0 = \frac{1}{3}.
Portanto
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 5

Verificação rápida por separação (cheat-sheet para prova): como x^{2}y = x^{2}\cdot y e o domínio é retangular, podemos também escrever
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \left(\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6},
o que confirma o resultado. Dica de prova: quando vir um produto g(x)h(y) e R for um retângulo, já pense em separar as integrais — isso economiza tempo na prova.

Passo 6

Exemplo adicional rápido para fixar (faça igual na prova se precisar): calcule
\iint_{R} xy\,dA
no mesmo R. Separando,
\left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right) = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}\cdot\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
Isso reforça a ideia prática.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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