Resolva as seguintes integrais duplas iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada cujo integrando, os limites e a ordem de integração são:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} x^{2} y^{3}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: x^{2}y^{3}.
  • Limite interno (variável y): y vai de 0 a 2.
  • Limite externo (variável x): x vai de 0 a 1.
    A tarefa é avaliar essa integral passo a passo.

Passo 2

Ideia básica para começar: numa integral iterada como esta, primeiro calcula-se a integral interna (a que tem dy). Ao integrar em relação a y, a variável x é tratada como constante. Regra usada aqui:
\int a\cdot f(y)\,dy = a\int f(y)\,dy,
quando a é constante em relação a y. Um lembrete rápido da regra de potência para antiderivadas (útil abaixo): para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}.

Passo 3

Calcular a integral interna usando que x^{2} é constante em relação a y:
\int_{0}^{2} x^{2} y^{3}\,dy = x^{2}\int_{0}^{2} y^{3}\,dy.
Agora aplico a regra de potência com n=3:
\int_{0}^{2} y^{3}\,dy = \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} = \frac{16}{4}.
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{2} x^{2} y^{3}\,dy = x^{2}\cdot\frac{16}{4} = 4x^{2}.

Passo 4

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Temos que calcular
\int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx.
Novamente aplicando a regra de potência (agora para x):
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
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\int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx = 4\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 4\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right) = 4\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Resumo didático (como fazer rápido na prova):
  • Identifique a ordem: aqui é \int_{0}^{1}\big(\int_{0}^{2}(\cdot)\,dy\big)\,dx. Integre primeiro em y.
  • Ao integrar em y, trate x como constante e use a regra de potência.
  • Depois integre o resultado em x normalmente.
    Força aí — essa técnica é direta e cai muito na prova!

Resposta

\dfrac{4}{3}

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