Resolva as seguintes integrais duplas iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} d y d x
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada cujo integrando, os limites e a ordem de integração são:
Informações dadas:
- Integrando:
. - Limite interno (variável
): vai de a . - Limite externo (variável
): vai de a .
A tarefa é avaliar essa integral passo a passo.
Passo 2
Ideia básica para começar: numa integral iterada como esta, primeiro calcula-se a integral interna (a que tem
). Ao integrar em relação a
, a variável
é tratada como constante. Regra usada aqui:
quando
é constante em relação a
. Um lembrete rápido da regra de potência para antiderivadas (útil abaixo): para
,
Passo 3
Calcular a integral interna usando que
é constante em relação a
:
Agora aplico a regra de potência com
:
Portanto a integral interna fica
Passo 4
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Temos que calcular
Novamente aplicando a regra de potência (agora para
):
logo
Passo 5
Resumo didático (como fazer rápido na prova):
- Identifique a ordem: aqui é
. Integre primeiro em . - Ao integrar em
, trate como constante e use a regra de potência. - Depois integre o resultado em
normalmente.
Força aí — essa técnica é direta e cai muito na prova!