Resolva as seguintes integrais duplas iteradas:
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} y \operatorname{sen}(x) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} y\,\operatorname{sen}(x)\,dy\,dx.
As informações relevantes:
  • Limites internos (integração em y): y vai de 0 a 2.
  • Limites externos (integração em x): x vai de 0 a \pi.
  • Integrando: a função é y\cdot\operatorname{sen}(x).
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Ideia de resolução e propriedades úteis (explicação didática):
  • A integranda é produto de uma função de y (que é y) e uma função de x (que é \operatorname{sen}(x)). Quando a região de integração é um retângulo e a função é contínua, pode-se integrar iteradamente normalmente; aqui a região é retangular [0,2]\times[0,\pi].
  • Propriedade de separabilidade: para f(x) e g(y) contínuas em seus intervalos,
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} g(y)f(x)\,dy\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\left(\int_{c}^{d} g(y)\,dy\right)\,dx.
Isso só diz que podemos primeiro integrar em y tratando \operatorname{sen}(x) como constante em relação a y.
  • Regras de antiderivação que vamos usar:
    • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C.
    • \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos x + C.
      Vou então calcular a integral interna em y e depois a externa em x.

Passo 3

Calcular a integral interna (em y):
\int_{0}^{2} y\,\operatorname{sen}(x)\,dy.
Aqui \operatorname{sen}(x) é constante quando integramos em y, então
\int_{0}^{2} y\,\operatorname{sen}(x)\,dy = \operatorname{sen}(x)\int_{0}^{2} y\,dy.
Agora calculo \int_{0}^{2} y\,dy usando a antiderivada \frac{y^{2}}{2}:
\int_{0}^{2} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2}=2.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{2} y\,\operatorname{sen}(x)\,dy = \operatorname{sen}(x)\cdot 2 = 2\,\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora integro a expressão resultante em x de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} 2\,\operatorname{sen}(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Usando \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos x, temos
2\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx = 2\left.\bigl(-\cos x\bigr)\right|_{0}^{\pi} = 2\bigl(-\cos\pi -(-\cos 0)\bigr).
Calculo os cossenos: \cos\pi = -1 e \cos 0 = 1. Assim
2\bigl(-\cos\pi -(-\cos 0)\bigr) = 2\bigl(-(-1) -(-1)\bigr) = 2\bigl(1+1\bigr) = 2\cdot 2 = 4.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • O truque foi reconhecer que \operatorname{sen}(x) é constante quando integrou-se em y, permitindo fatorá-la. Em problemas parecidos, sempre verifique se a integranda separa em produto de uma função só de x por uma só de y; aí fica muito mais rápido.
  • Resultado final: 4. Força na prova — deu tudo certo passo a passo!

Resposta

4

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