Exercício 3: Calcule as integrais.
\int 1+2 x \operatorname{arctg} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(1 + 2x\,\arctan x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, além de uso de integrais básicas.

Passo 2

Separe a integral em duas partes:
\int\bigl(1 + 2x\,\arctan x\bigr)\,dx = \int 1\,dx \;+\;\int 2x\,\arctan x\,dx.
A primeira parte é imediata:
\int 1\,dx = x.

Passo 3

Para a segunda parte, faça integração por partes em
I = \int 2x\,\arctan x\,dx.
Escolha
u = \arctan x,\quad dv = 2x\,dx,
logo
du = \frac{dx}{1+x^2},\quad v = x^2.
Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
I = x^2\,\arctan x \;-\;\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

Decomponha o integrando em
\frac{x^2}{1+x^2} = 1 \;-\;\frac{1}{1+x^2},
portanto
\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = x - \arctan x.
Substituindo de volta em I,
I = x^2\,\arctan x \;-\;(x - \arctan x) = x^2\,\arctan x - x + \arctan x.

Passo 5

Some agora com o resultado de \int1\,dx = x:
\int\bigl(1 + 2x\,\arctan x\bigr)\,dx = x + \bigl(x^2\,\arctan x - x + \arctan x\bigr) + C = x^2\,\arctan x + \arctan x + C.
Fatorando,
(x^2+1)\,\arctan x + C.

Resposta

(x^2 + 1)\,\arctan x + C.

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