Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{\pi / 3}^{3 \pi / 2} \cos x\left(\operatorname{sen}^{3} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/3}^{3\pi/2}\cos x\,\sin^{3}x\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, reconhecendo que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u=\sin x \quad\Longrightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Com isso, a integral fica
\int \cos x\,\sin^{3}x\,dx =\int u^{3}\,du.

Passo 3

A integral de u^{3} é
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}+C.
Voltando à variável x, um antiderivado é
F(x)=\frac{\sin^{4}x}{4}.
Agora avaliamos de x=\pi/3 até x=3\pi/2:
F(3\pi/2)-F(\pi/3) =\frac{\sin^{4}(3\pi/2)}{4}-\frac{\sin^{4}(\pi/3)}{4}.
Sabendo que \sin(3\pi/2)=-1 e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
F(3\pi/2)=\frac{(-1)^{4}}{4}=\frac{1}{4}, \quad F(\pi/3)=\frac{\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{4}}{4} =\frac{9/16}{4}=\frac{9}{64}.
Portanto,
\int_{\pi/3}^{3\pi/2}\cos x\,\sin^{3}x\,dx =\frac{1}{4}-\frac{9}{64} =\frac{16}{64}-\frac{9}{64} =\frac{7}{64}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{64}

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