Exercício 3: Calcule as integrais.
\int \frac{9}{(y+3)^{4}}+y^{3} e^{y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede
\int \biggl(\frac{9}{(y+3)^{4}} + y^{3}e^{y^{2}}\biggr) dy.
O conteúdo envolve duas técnicas de integração: regra de potência para \int (y+3)^{-4}dy e substituição seguida de integração por partes para \int y^{3}e^{y^{2}}dy.

Passo 2

Para o primeiro termo usamos a regra de potência:
\int \frac{9}{(y+3)^{4}}\,dy =9\int (y+3)^{-4}dy =9\cdot\frac{(y+3)^{-3}}{-3} =-3(y+3)^{-3}.

Passo 3

Para o segundo termo fazemos a substituição
u = y^{2}, \quad du = 2y\,dy \;\Longrightarrow\; y\,dy=\frac{du}{2}.
Então
\int y^{3}e^{y^{2}}dy =\int y^{2}\,e^{y^{2}}\;y\,dy =\frac12\int u\,e^{u}du.
Agora integramos por partes em \int u\,e^{u}du. Seja \tilde u = u e dv = e^{u}du,
então d\tilde u = du e v = e^{u}. Logo
\int u\,e^{u}du =u\,e^{u}-\int e^{u}du =u\,e^{u}-e^{u} =e^{u}(u-1).
Voltando a y, temos
\int y^{3}e^{y^{2}}dy =\frac12\,e^{u}(u-1) =\frac12\,e^{y^{2}}\bigl(y^{2}-1\bigr).

Passo 4

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
-3(y+3)^{-3} +\frac12\,e^{y^{2}}\bigl(y^{2}-1\bigr) +C.

Resposta

-3\,(y+3)^{-3} \;+\;\tfrac12\,e^{y^{2}}\,(y^{2}-1)\;+\;C.

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