Exercício 2: Com base nas dicas dadas, mostre que \int \operatorname{cossec} x d x=\ln |\operatorname{cossec} x-\operatorname{cotg} x|+C, \quad C \in \mathbb{R}
Dica: Multiplique \operatorname{cossec} x por \frac{\operatorname{cossec} x-\operatorname{cotg} x}{\operatorname{cossec} x-\operatorname{cotg} x} e observe que a derivada do denominador da fração resultante está no seu numerador.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int \csc x \,dx
e mostrar que o resultado é
\ln\bigl|\csc x - \cot x\bigr| + C.
A dica sugere multiplicar \csc x por
\frac{\csc x - \cot x}{\csc x - \cot x}
de modo a obter uma fração cuja derivada do denominador aparece no numerador.
Passo 2
Aplicando a dica, escrevemos
\int \csc x \,dx =\int \csc x \cdot \frac{\csc x - \cot x}{\csc x - \cot x} \,dx =\int \frac{\csc^2 x - \csc x\,\cot x}{\csc x - \cot x} \,dx.
Passo 3
Agora vamos verificar a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x - \cot x\bigr) =-\csc x\,\cot x + \csc^2 x =\csc^2 x - \csc x\,\cot x,
que é exatamente o numerador da fração.
Passo 4
Vimos que o integrando é da forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}, pois
f(x)=\csc x - \cot x, \quad f'(x)=\csc^2 x - \csc x\,\cot x.
Logo,
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx =\ln\bigl|f(x)\bigr| + C =\ln\bigl|\csc x - \cot x\bigr| + C.
Resposta
\int \csc x \,dx =\ln\bigl|\csc x - \cot x\bigr| + C.