Exercício 2: Calcule as integrais.
\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{(2 x-3)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(2x-3)^{2}}\,dx.
Este é um caso de integral imprópria porque o limite inferior é -\infty. Vamos usar a técnica de substituição linear para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 2x - 3,
para eliminar o binômio no denominador. Calculamos a diferencial:
dt = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{2}.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração:
quando x \to -\infty, temos t \to -\infty;
quando x = 1, temos t = 2\cdot1 - 3 = -1.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(2x-3)^{2}}\,dx = \int_{t=-\infty}^{t=-1}\frac{1}{t^{2}}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{-1}t^{-2}\,dt.

Passo 4

A antiderivada de t^{-2} (para t\neq 0) é
\int t^{-2}\,dt = -\,t^{-1} + C = -\frac{1}{t} + C.
Logo,
\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{-1}t^{-2}\,dt = \frac{1}{2}\Bigl[-\frac{1}{t}\Bigr]_{t=-\infty}^{t=-1}.

Passo 5

Aplicando os limites:
-\frac{1}{t}\Big|_{-\infty}^{-1} = \Bigl(-\frac{1}{-1}\Bigr) - \lim_{t\to-\infty}\Bigl(-\frac{1}{t}\Bigr) = 1 - 0 = 1.
Multiplicando pelo fator \tfrac12, concluímos que a integral converge para \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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