Exercício 2: Calcule as integrais.
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)\,d\theta.
Aqui o ponto que exige cuidado é o limite inferior -\infty, então vamos usar a definição de integral imprópria e verificar se o limite existe.

Passo 2

Para avançar, encontramos uma primitiva de \sin(2\theta). Sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(-\tfrac12\cos(2\theta)\bigr) =-\tfrac12\,( -2\sin(2\theta))=\sin(2\theta).
Logo, uma primitiva é
F(\theta)=-\tfrac12\cos(2\theta).

Passo 3

Pela definição de integral imprópria, escrevemos
\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)\,d\theta =\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Usando a primitiva F(\theta), temos
\int_{A}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)\,d\theta =F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F(A) =-\tfrac12\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl(-\tfrac12\cos(2A)\bigr).
Como \cos(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=\cos(\pi)=-1, isto dá
-\tfrac12\bigl(-1\bigr)+\tfrac12\cos(2A) =\tfrac12+\tfrac12\cos(2A).
Agora tomamos A\to -\infty. O termo \cos(2A) oscila entre -1 e 1 e não possui limite. Portanto o limite
\lim_{A\to-\infty}\Bigl(\tfrac12+\tfrac12\cos(2A)\Bigr)
não existe.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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