Exercício 5: Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função f é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se f(-x)=f(x) qualquer que seja x \in D(f).)
(i) \int_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}} d x
( ) A integral (i) diverge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx
diverge. O conteúdo necessário envolve o teste de comparação para integrais impróprias e o fato de que, para p>1,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
converge.

Passo 2

Observamos que, para todo x\ge1,
0 \;\le\; \frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \;\le\; \frac{1}{x^{2}}.
Como p=2>1, sabemos que
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\bigl(-\tfrac{1}{b}+\tfrac{1}{1}\bigr) =1<\infty.
Pelo teste de comparação, a integral dada também converge.

Resposta

F (Falso): a integral converge.

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