Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{1}^{4} \ln \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} \ln\sqrt{x}\,dx.
O conteúdo é integração de função logarítmica. Vamos usar a propriedade de logaritmo para simplificar e, em seguida, aplicar integração por partes.

Passo 2

Usamos \ln\sqrt{x}=\tfrac12\ln x. Logo
\int_{1}^{4} \ln\sqrt{x}\,dx =\frac12\int_{1}^{4}\ln x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int\ln x\,dx, usamos integração por partes escolhendo
u=\ln x,\quad dv=dx,
o que dá
du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=x.
Assim
\int\ln x\,dx =x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx =x\ln x - x + C.

Passo 4

Substituindo no integral original com o fator \tfrac12 e avaliando de 1 a 4:
\frac12\Bigl[x\ln x - x\Bigr]_{1}^{4} =\frac12\bigl[(4\ln4 - 4)- (1\ln1 -1)\bigr] =\frac12\bigl[4\ln4 -4 - (0-1)\bigr] =\frac12\bigl[4\ln4 -3\bigr].
Como \ln4=2\ln2, isto é
\frac12\bigl[4\cdot2\ln2 -3\bigr] =4\ln2 - \frac{3}{2}.

Resposta

\int_{1}^{4} \ln\sqrt{x}\,dx = 4\ln2 - \tfrac{3}{2}.

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