Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{1 / 2}^{\sqrt{3} / 2} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é uma integral que envolve radicais do tipo \sqrt{1-x^{2}}. Para resolvê-la, vamos usar a substituição trigonométrica clássica x=\sin\theta.

Passo 2

Fazendo
x = \sin\theta,
temos
dx = \cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{1-x^{2}} = \cos\theta.
Os limites em x se traduzem em \theta:
para x=1/2, \theta=\pi/6;
para x=\sqrt{3}/2, \theta=\pi/3.

Passo 3

Substituindo na integral:
\frac{1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{1}{\sin^{2}\theta\,\cos\theta}\,\bigl(\cos\theta\,d\theta\bigr) = \frac{1}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = \csc^{2}\theta\,d\theta.
Logo
\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta + C.
Portanto
\int_{\pi/6}^{\pi/3} \csc^{2}\theta\,d\theta = \bigl[-\cot\theta\bigr]_{\pi/6}^{\pi/3} = \bigl(-\cot(\pi/3)\bigr) - \bigl(-\cot(\pi/6)\bigr).

Passo 5

Calculando os cots:
\cot\bigl(\pi/3\bigr)=\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cot\bigl(\pi/6\bigr)=\sqrt{3}.
Logo
-\cot(\pi/3) = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad -\cot(\pi/6) = -\sqrt{3}.
Subtraindo,
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)-\bigl(-\sqrt{3}\bigr) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

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