Exercício 5 Calcule à integral dupla
, onde
é a região do
quadrante e é limitada pela circunferência
os eixos coordenados.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região do
quadrante limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - A região
é o conjunto de pontos tais que , e . - Em coordenadas polares, a curva limite
corresponde a , isto é . - Pergunta final: calcular numericamente (ou simbolicamente) o valor da integral dupla sobre
.
Passo 2
Escolha do método e por quê. Observação importante: a integranda depende apenas de
. Quando a função depende de
é quase sempre muito conveniente usar coordenadas polares, porque
em polares e a região é circular (parte de um disco). Então vamos trocar para coordenadas polares
com as fórmulas de transformação:
Ao fazer essa mudança, a diferencial de área
transforma-se em
. Aqui
é o fator de escala (Jacobiano) que aparece porque um elemento pequeno de área em polares é aproximadamente um retângulo de lados
e
, logo área
. Essa é uma ideia geométrica útil para decorar: o “r” vem do comprimento do arco
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares. A região
é o primeiro quadrante (portanto
varia de
a
) e está dentro da circunferência de raio
. Assim:
Passo 4
Escrever a integral na nova variável. Substituindo
e
, a integral fica
Explicando: a ordem que escolhi é primeiro integrar em
(mantendo
fixo) e depois em
. Isso é natural aqui porque os limites em
são constantes.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Vamos calcular
Fazer a substituição simples
. Então
, o que implica
. Quando
temos
. Quando
temos
. Portanto
Integrando
obtemos
Passo 6
Agora calcular a integral em
. A integral total é
Como
é constante em relação a
, obtemos
Multiplicando os fatores,
Passo 7
Comentário final e verificação rápida. O integrando é positivo, a região tem área finita, logo o resultado positivo
faz sentido. A técnica chave foi reconhecer simetria radial e usar coordenadas polares, além da substituição
para integrar
.