Exercício 5 Calcule à integral dupla \int_{R} \int e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde R é a região do 1^{\underline{o}} quadrante e é limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 e os eixos coordenados.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy,
onde R é a região do 1^{\underline{o}} quadrante limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4e e pelos eixos coordenados. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é e^{x^{2}+y^{2}}.
  • A região R é o conjunto de pontos (x,y) tais que x\ge0, y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le 4e.
  • Em coordenadas polares, a curva limite x^{2}+y^{2}=4e corresponde a r^{2}=4e, isto é r=2\sqrt{e}.
  • Pergunta final: calcular numericamente (ou simbolicamente) o valor da integral dupla sobre R.

Passo 2

Escolha do método e por quê. Observação importante: a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}. Quando a função depende de x^{2}+y^{2} é quase sempre muito conveniente usar coordenadas polares, porque x^{2}+y^{2}=r^{2} em polares e a região é circular (parte de um disco). Então vamos trocar para coordenadas polares (r,\theta) com as fórmulas de transformação:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Ao fazer essa mudança, a diferencial de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Aqui r é o fator de escala (Jacobiano) que aparece porque um elemento pequeno de área em polares é aproximadamente um retângulo de lados dr e r\,d\theta, logo área r\,dr\,d\theta. Essa é uma ideia geométrica útil para decorar: o “r” vem do comprimento do arco r\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares. A região R é o primeiro quadrante (portanto \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}) e está dentro da circunferência de raio 2\sqrt{e}. Assim:
0\le \theta \le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le r \le 2\sqrt{e}.

Passo 4

Escrever a integral na nova variável. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sqrt{e}} e^{r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Explicando: a ordem que escolhi é primeiro integrar em r (mantendo \theta fixo) e depois em \theta. Isso é natural aqui porque os limites em r são constantes.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Vamos calcular
I_r=\int_{0}^{2\sqrt{e}} e^{r^{2}}\,r\,dr.
Fazer a substituição simples u=r^{2}. Então du=2r\,dr, o que implica r\,dr=\dfrac{du}{2}. Quando r=0 temos u=0. Quando r=2\sqrt{e} temos u=(2\sqrt{e})^{2}=4e. Portanto
I_r = \int_{u=0}^{4e} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4e} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} obtemos
I_r = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{4e} = \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-1\bigr).

Passo 6

Agora calcular a integral em \theta. A integral total é
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} I_r\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-1\bigr)\,d\theta.
Como \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-1\bigr) é constante em relação a \theta, obtemos
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-1\bigr)\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{1}{2}\bigl(e^{4e}-1\bigr)\cdot \frac{\pi}{2}.
Multiplicando os fatores,
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{\pi}{4}\bigl(e^{4e}-1\bigr).

Passo 7

Comentário final e verificação rápida. O integrando é positivo, a região tem área finita, logo o resultado positivo \dfrac{\pi}{4}\bigl(e^{4e}-1\bigr) faz sentido. A técnica chave foi reconhecer simetria radial e usar coordenadas polares, além da substituição u=r^{2} para integrar e^{r^{2}}r\,dr.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\bigl(e^{4e}-1\bigr)

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