Exercício 9 Usando coordenadas esféricas calcule o volume entre a esfera \rho=2 e o cone \varphi=\frac{\pi}{4}.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica entre a esfera \rho=2 e o cone \varphi=\dfrac{\pi}{4}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A esfera é dada por \rho=2 (raio 2 no sistema esférico).
O cone tem equação \varphi=\dfrac{\pi}{4} (ângulo sem abertura de 45^\circ medido a partir do eixo z).
Precisamos calcular o volume do sólido que está limitado por essas superfícies (isto é, a parte da bola de raio 2 que fica dentro do ângulo do cone).
Não há outras restrições explícitas; portanto devemos considerar toda volta em \theta (ou seja, \theta vai de 0 a 2\pi).
Passo 2
Relembrando coordenadas esféricas (para entender as variáveis e limites):
Em coordenadas esféricas um ponto é dado por (\rho,\varphi,\theta), onde:
\rho é a distância do ponto à origem (equivalente ao raio),
\varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte),
\theta é o ângulo azimutal no plano xy (como em coordenadas polares).
As relações com coordenadas cartesianas são, por exemplo:x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Passo 3
Elemento de volume em esféricas e motivo:
O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Intuitivamente, \rho^{2}\sin\varphi é o fator jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque as pequenas variações em \rho,\varphi,\theta formam um paralelepípedo de volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta).
Passo 4
Determinar os limites de integração para a região descrita:
Para \rho: dentro da esfera \rho vai de 0 até 2, portanto 0\le \rho\le 2.
Para \varphi: a região está “abaixo” do cone ou “dentro” do cone? O cone \varphi=\dfrac{\pi}{4} separa os pontos com \varphi menores (mais próximos do eixo z) dos maiores. A parte da bola dentro do cone corresponde a 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{4}.
Para \theta: como não há restrição azimutal, \theta percorre toda a volta 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 5
Montar a integral tripla do volume usando os limites e o elemento de volume: