Exercício 9 Usando coordenadas esféricas calcule o volume entre a esfera \rho=2 e o cone \varphi=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica entre a esfera \rho=2 e o cone \varphi=\dfrac{\pi}{4}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A esfera é dada por \rho=2 (raio 2 no sistema esférico).
  • O cone tem equação \varphi=\dfrac{\pi}{4} (ângulo sem abertura de 45^\circ medido a partir do eixo z).
  • Precisamos calcular o volume do sólido que está limitado por essas superfícies (isto é, a parte da bola de raio 2 que fica dentro do ângulo do cone).
  • Não há outras restrições explícitas; portanto devemos considerar toda volta em \theta (ou seja, \theta vai de 0 a 2\pi).

Passo 2

Relembrando coordenadas esféricas (para entender as variáveis e limites):
  • Em coordenadas esféricas um ponto é dado por (\rho,\varphi,\theta), onde:
    • \rho é a distância do ponto à origem (equivalente ao raio),
    • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte),
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (como em coordenadas polares).
  • As relações com coordenadas cartesianas são, por exemplo: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.

Passo 3

Elemento de volume em esféricas e motivo:
  • O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Intuitivamente, \rho^{2}\sin\varphi é o fator jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque as pequenas variações em \rho,\varphi,\theta formam um paralelepípedo de volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta).

Passo 4

Determinar os limites de integração para a região descrita:
  • Para \rho: dentro da esfera \rho vai de 0 até 2, portanto 0\le \rho\le 2.
  • Para \varphi: a região está “abaixo” do cone ou “dentro” do cone? O cone \varphi=\dfrac{\pi}{4} separa os pontos com \varphi menores (mais próximos do eixo z) dos maiores. A parte da bola dentro do cone corresponde a 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{4}.
  • Para \theta: como não há restrição azimutal, \theta percorre toda a volta 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 5

Montar a integral tripla do volume usando os limites e o elemento de volume:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\\ d\rho\\ d\varphi\\ d\theta.
Como a função se separa em produto de funções de \rho, \varphi e \theta, podemos calcular cada integral separadamente e multiplicar os resultados.

Passo 6

Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-0=\frac{8}{3}.
Explanação rápida: a primitiva de \rho^{2} é \rho^{3}/3, avaliar entre 0 e 2 8/3.

Passo 7

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi=\left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/4}= -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos(0).
Sabendo que \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos(0)=1, obtemos
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Calcular a integral em \theta e multiplicar tudo:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando os três resultados:
V= \left(\frac{8}{3}\right)\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(2\pi\right).
Agora simplificando a expressão algébrica:
V=\frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{8\pi}{3}\,(2-\sqrt{2}).

Resposta

V=\frac{8\pi}{3}\,(2-\sqrt{2})

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