Encontre por integração dupla, a área das regiões dadas a seguir:
interior à cardióide
e exterior à circnferência
.
interior à cardióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que é simultaneamente
- interior à cardióide
, e - exterior à circunferência
.
Informações dadas:
- Equações das curvas em coordenadas polares:
e . - A região procurada é o conjunto de pontos que satisfazem ao mesmo tempo
e . - Precisaremos determinar para quais ângulos
existe ponto com (isto é, onde a cardióide está “fora” da circunferência).
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
- Em coordenadas polares, a área de uma região que, para cada ângulo
em um intervalo , tem raio variável entre (curva interior) e (curva exterior) é dada por
- Por que essa fórmula? Pense em um pequeno setor entre
e . A área do setor de raio é aproximadamente . Para uma “fatia” entre dois raios e a área é a diferença . Integrando sobre obtemos a área total. - Aqui, para cada
a faixa de válida é de até , mas isso só faz sentido quando . Precisamos achar o intervalo de onde isso ocorre.
Passo 3
Determinar o intervalo de ângulos onde a cardióide está por fora da circunferência:
- Queremos
, isto é,
- Dividindo por
(positivo),
- A desigualdade
ocorre para no intervalo (intervalo simétrico em torno de ). Nos extremos as duas curvas se encontram porque implica . - Portanto o intervalo de integração é
.
Passo 4
Montar a integral de área usando a fórmula:
- Para
temos variando de até . Assim
- Vamos desenvolver a expressão dentro da integral passo a passo.
Passo 5
Expansão e simplificação do integrando:
- Calcule
:
- Subtraindo
obtemos
- Assim a área fica
Passo 6
Calcular as integrais que aparecem:
- Separe em duas integrais:
- Primeiro termo: a primitiva de
é . Logo
- Segundo termo: use a identidade trigonométrica
. Assim
- Avaliando:
- E
- Portanto
Passo 7
Juntar tudo e obter a área final:
- Substituindo os resultados:
- Interpretação curta: a região entre as duas curvas, onde a cardióide envolve a circunferência, tem área
(unidades de área). Boa! Conseguiu ver como montar o intervalo de , aplicar a fórmula polar e usar identidade trigonométrica para integrar.