Encontre por integração dupla, a área das regiões dadas a seguir:
interior à cardióide r=2(1+\cos \theta) e exterior à circnferência r=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é simultaneamente
  • interior à cardióide r=2(1+\cos\theta), e
  • exterior à circunferência r=2.
Informações dadas:
  • Equações das curvas em coordenadas polares: r_{\text{card}}(\theta)=2(1+\cos\theta) e r_{\text{circ}}(\theta)=2.
  • A região procurada é o conjunto de pontos que satisfazem ao mesmo tempo r\le r_{\text{card}}(\theta) e r\ge 2.
  • Precisaremos determinar para quais ângulos \theta existe ponto com 2\le r\le r_{\text{card}}(\theta) (isto é, onde a cardióide está “fora” da circunferência).

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
  • Em coordenadas polares, a área de uma região que, para cada ângulo \theta em um intervalo [a,b], tem raio variável entre r=r_1(\theta) (curva interior) e r=r_2(\theta) (curva exterior) é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(r_2(\theta)^2-r_1(\theta)^2\bigr)\,d\theta.Á
  • Por que essa fórmula? Pense em um pequeno setor entre \theta e \theta+d\theta. A área do setor de raio r é aproximadamente \tfrac12 r^2 d\theta. Para uma “fatia” entre dois raios r_1 e r_2 a área é a diferença \tfrac12(r_2^2-r_1^2)d\theta. Integrando sobre \theta obtemos a área total.
  • Aqui, para cada \theta a faixa de r válida é de r=2 até r=r_{\text{card}}(\theta), mas isso só faz sentido quando r_{\text{card}}(\theta)\ge 2. Precisamos achar o intervalo de \theta onde isso ocorre.

Passo 3

Determinar o intervalo de ângulos onde a cardióide está por fora da circunferência:
  • Queremos r_{\text{card}}(\theta)\ge 2, isto é,
2(1+\cos\theta)\ge 2.
  • Dividindo por 2 (positivo),
1+\cos\theta \ge 1 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta \ge 0.
  • A desigualdade \cos\theta\ge0 ocorre para \theta no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (intervalo simétrico em torno de 0). Nos extremos \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} as duas curvas se encontram porque \cos(\pm\tfrac{\pi}{2})=0 implica r_{\text{card}}=2.
  • Portanto o intervalo de integração é \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 4

Montar a integral de área usando a fórmula:
  • Para \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr] temos r variando de 2 até 2(1+\cos\theta). Assim
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\Bigl(\bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2-2^2\Bigr)\,d\theta.Á
  • Vamos desenvolver a expressão dentro da integral passo a passo.

Passo 5

Expansão e simplificação do integrando:
  • Calcule \bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2:
\bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2 = 4(1+\cos\theta)^2 = 4\bigl(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr).
  • Subtraindo 2^2=4 obtemos
\bigl[2(1+\cos\theta)\bigr]^2-4 = 4\bigl(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)-4 = 8\cos\theta + 4\cos^2\theta.
  • Assim a área fica
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(8\cos\theta + 4\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.Á

Passo 6

Calcular as integrais que aparecem:
  • Separe em duas integrais:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left(8\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta \;+\;4\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta\right).Á
  • Primeiro termo: a primitiva de \cos\theta é \sin\theta. Logo
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta = \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)-\sin\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=1-(-1)=2.
  • Segundo termo: use a identidade trigonométrica \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta.
  • Avaliando: \displaystyle \frac{1}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}1\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.
  • E \displaystyle \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta = \Bigl[\tfrac{\sin 2\theta}{2}\Bigr]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\sin \pi - \sin(-\pi)}{2} = 0.
  • Portanto \displaystyle \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Juntar tudo e obter a área final:
  • Substituindo os resultados:
\text{Área}=\frac{1}{2}\Bigl(8\cdot 2 + 4\cdot \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\bigl(16 + 2\pi\bigr) =8+\pi.Á
  • Interpretação curta: a região entre as duas curvas, onde a cardióide envolve a circunferência, tem área 8+\pi (unidades de área). Boa! Conseguiu ver como montar o intervalo de \theta, aplicar a fórmula polar e usar identidade trigonométrica para integrar.

Resposta

\;8+\pi

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