Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y, z)=\left(\operatorname{sen} y, x e^{x y}\right., sen \left.z\right) sobre a curva \gamma(t)=\left(t^{2}, t, t^{3}\right), 0 \leq t \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y,z) = \bigl(\sin y,\;x e^{xy},\;\sin z\bigr)
e \displaystyle \gamma(t) = (t^{2},\,t,\,t^{3}), 0\le t\le3.
O conteúdo aqui é parametrização de curva e cálculo de integral de linha de um campo vetorial: vamos escrever d\vec r=\gamma'(t)\,dt, compor \vec F(\gamma(t)) e integrar o produto escalar.

Passo 2

Calculamos primeiro \displaystyle \gamma'(t) = \bigl(2t,\,1,\,3t^{2}\bigr).
Em seguida compondo o campo:
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr) = \bigl(\sin(t),\;t^{2}e^{t^{2}\cdot t},\;\sin(t^{3})\bigr) = \bigl(\sin t,\;t^{2}e^{t^{3}},\;\sin(t^{3})\bigr).

Passo 3

O integrando é
\vec F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = \sin t\,(2t)\;+\;t^{2}e^{t^{3}}\,(1)\;+\;\sin(t^{3})\,(3t^{2}).
Logo a integral fica
\int_{0}^{3}\Bigl(2t\sin t \;+\;t^{2}e^{t^{3}}\;+\;3t^{2}\sin(t^{3})\Bigr)\,dt.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{3}2t\sin t\,dt usamos integração por partes com u=2t, dv=\sin t\,dt, obtendo
\int 2t\sin t\,dt = -2t\cos t +2\sin t.
Avaliado de 0 a 3
[-2t\cos t +2\sin t]_{0}^{3} = -6\cos3 +2\sin3.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{3}t^{2}e^{t^{3}}\,dt fazemos a troca u=t^{3}, du=3t^{2}dt, logo
t^{2}e^{t^{3}}\,dt = \frac{1}{3}e^{u}\,du
e
\int_{0}^{3}t^{2}e^{t^{3}}\,dt =\frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{u=0}^{u=27} =\frac{e^{27}-1}{3}.

Passo 6

Para \displaystyle \int_{0}^{3}3t^{2}\sin(t^{3})\,dt notamos que
d\bigl(\cos(t^{3})\bigr) = -3t^{2}\sin(t^{3})\,dt \;\Longrightarrow\; 3t^{2}\sin(t^{3})\,dt = -d\bigl(\cos(t^{3})\bigr).
Então
\int_{0}^{3}3t^{2}\sin(t^{3})\,dt = -\bigl[\cos(t^{3})\bigr]_{0}^{3} = 1 - \cos(27).

Passo 7

Somando os três resultados, a integral de linha é
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r = \bigl(-6\cos3 +2\sin3\bigr) + \frac{e^{27}-1}{3} + \bigl(1-\cos27\bigr).

Resposta

\boxed{ -6\cos3 \;+\;2\sin3 \;+\;\frac{e^{27}-1}{3}\;+\;1 \;-\;\cos27 }.

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