Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}, 2 x^{2} y-1\right) e \gamma é o segmento de (-1,2) a ( 0,0 ) seguido do caminho parabólico y=x^{2} d e(0,0) a(2,4).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r
onde \vec{F}(x,y)=(2xy^{2},\,2x^{2}y-1) e \gamma é o caminho que vai de (-1,2) a (0,0) por um segmento de reta, depois segue o arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (2,4).
Conteúdo: campos conservativos e potencial escalar, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha, que diz que se \vec F for conservativo num domínio simplesmente conexo, a integral independe do caminho.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo em \mathbb{R}^2. Denotando
P(x,y)=2xy^{2},\quad Q(x,y)=2x^{2}y-1,
calcula-mos
\frac{\partial P}{\partial y}=4xy, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=4xy.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, \vec F é conservativo e existe potencial f com \nabla f=\vec F.

Passo 3

Para achar f(x,y), integramos P=\frac{\partial f}{\partial x} em x:
f(x,y)=\int 2x\,y^{2}\,dx = x^{2}y^{2} + h(y).
Depois impomos \frac{\partial f}{\partial y}=Q:
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}y + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; 2x^{2}y-1 \;\Longrightarrow\; h'(y)=-1 \;\Longrightarrow\; h(y)=-y + C.
Tomando C=0, escolhemos
f(x,y)=x^{2}y^{2}-y.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r = f(2,4)-f(-1,2).
Calculamos
f(2,4)=2^{2}\cdot4^{2}-4=4\cdot16-4=64-4=60,
f(-1,2)=(-1)^{2}\cdot2^{2}-2=1\cdot4-2=4-2=2,
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\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r = 60-2 = 58.

Resposta

58

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