Exercício 4. Calcule:
(e) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{7} - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^{10}.
O conteúdo aqui é a aplicação da fórmula de De Moivre para potências de números complexos no formato re^{i\theta}, e precisaremos converter cada base numa forma e^{i\theta} sobre o círculo unitário.

Passo 2

Repare que
\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}} =\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) +i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =e^{-i\pi/4},
e também
-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}} =\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) +i\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) =e^{3i\pi/4}.

Passo 3

Aplicando De Moivre à primeira potência:
\Bigl(e^{-i\pi/4}\Bigr)^{7} =e^{-7i\pi/4}.
Como -7\pi/4=-2\pi+\pi/4, temos
e^{-7i\pi/4} =e^{-2\pi i}\,e^{i\pi/4} =e^{i\pi/4} =\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) +i\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para a segunda potência:
\Bigl(e^{3i\pi/4}\Bigr)^{10} =e^{30i\pi/4} =e^{7{,}5\,i\pi}.
Reduzindo 7{,}5\pi módulo 2\pi 3\pi/2, logo
e^{7{,}5\,i\pi} =e^{i\,3\pi/2} =\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) +i\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =0 - i =-\,i.

Passo 5

Agora subtraímos:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) -\bigl(-i\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{i}{\sqrt{2}}+i =\frac{1}{\sqrt{2}} +i\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\Bigr).

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}} +i\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\Bigr)
\text{ou equivalentemente } \frac{\sqrt{2}}{2} +i\,\frac{\sqrt{2}+2}{2}.

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