Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfic da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de
.
Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
(b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
(c) Mude a segunda condição inicial para
e encontre a solução como função de
.
(d) Encontre as coordenadas do ponto de máximo
em função de
. Descreva a dependência em
de
e de
quando
aumenta.
Considere o problema de valor inicial
(b) Determine as coordenadas
(c) Mude a segunda condição inicial para
(d) Encontre as coordenadas do ponto de máximo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Ecuação diferencial e condições iniciais dadas:
- O enunciado pede:
(a) resolver o problema de valor inicial e esboçar o gráfico da solução;
(b) determinar as coordenadasdo ponto de máximo (para as condições iniciais originais);
(c) repetir a resolução trocandopor e obter a solução em função de ;
(d) encontrarem função de e descrever como e dependem de quando aumenta.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Primeiro escrevemos a equação característica associada substituindo
:
Calcule o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla
Para raiz dupla
a solução geral da equação diferencial é da forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Uma breve explicação do porquê: quando a raiz é dupla, além da solução
aparece
para formar a família de soluções independentes.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
dá
Calculamos
. Partindo de
, usamos a regra do produto:
Agrupando fatores comuns
:
Avalie em
e use
:
Como
, segue
Portanto a solução do problema de valor inicial é
Passo 4
Esboço do gráfico e comportamento para
grandes.
- Em
temos . - A derivada inicial é
, então a solução sobe inicialmente. - A função é da forma um polinômio linear multiplicado por
. Como quando , temos
Logo a curva sobe até um máximo e depois decai para zero (decaimento exponencial domina o fator linear).
- Esboço qualitativo: começa em
, sobe rapidamente (derivada inicial ), atinge um pico em algum e depois decresce de modo suave para . A curva é sempre contínua e suave (infinitamente diferenciável). Visualize algo como uma campana deslocada para a direita que decai exponencialmente para zero.
Passo 5
Encontre o ponto de máximo para o caso específico
.
Para máximo, resolvemos
. Já temos a expressão geral da derivada com constantes:
Com
e
fica
Igualando a zero (e lembrando que
para todo
):
Portanto
. Calcule
:
Logo o ponto de máximo é
(Justificação de máximo:
é uma função proporcional a
, positiva para
e negativa para
, logo a troca de sinal indica máximo em
.)
Passo 6
Agora a parte (c): trocando
por
, retomamos a solução geral encontrada no Passo 2:
Usando
obtemos
. A condição
dá
Assim, a solução em função de
é
Passo 7
Parte (d): ponto de máximo
em função de
e dependência em
.
Usamos a expressão da derivada com
e
:
Simplifique o coeficiente de
:
Colocando
e resolvendo para
:
Portanto
Agora calcule
. Substituindo
na expressão
temos primeiro
Fazendo as contas aparece uma simplificação elegante:
Assim
Logo
Agora descrevemos a dependência de
e
quando
aumenta.
- Monotonicidade de
: calcule a derivada
portanto
é estritamente crescente em
. Os limites são
Ou seja, conforme
cresce,
sobe e se aproxima de
(sempre permanecendo
).
- Monotonicidade de
: é conveniente estudar :
Derivando:
Logo
é crescente e, portanto,
é crescente para
.
Limites e comportamento assintótico:
mais precisamente, para
grande,
Em palavras: aumentando
a posição do máximo
aumenta e tende a
; o valor do máximo
também aumenta sem limite e cresce aproximadamente como
para
grande.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)