Calcule
Passo 1
O que o problema dá e o que pede.
- É dado o limite
. - O que se pede é o valor numérico desse limite quando
tende para . - Observação importante (sobre o que acontece com as partes): para
a base tende para e o expoente tende para . Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo .
Passo 2
Estratégia geral e justificativa das operações que usarei (sem calcular ainda).
- Quando aparece uma forma indeterminada do tipo
, um método standard é tomar o logaritmo natural da expressão e estudar o limite do expoente logarítmico. Isso porque a função exponencial é contínua: se existe e é positiva, então . - Aqui definimos
Se conseguirmos finito, então - Antes de aplicar o logaritmo, é preciso verificar que para
suficientemente grande a base é positiva, para que o logaritmo exista: para tem-se . Como estamos no limite , podemos considerar apenas . Logo a transformação é válida.
Passo 3
Calcular o limite do expoente logarítmico.
- Vamos calcular
- Reescrevo a expressão para evidenciar uma forma conhecida:
- Agora uso o limite padrão
Explicando por que isso vale: pode-se aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente (numeração de formas ); derivando numerador e denominador obtém-se que tende para quando . Também é o valor da derivada de em . - Faça a correspondência com o nosso caso: tome
. Quando tem . Aplicando o limite padrão obtemos Isso implica - Multiplicando por
vem
Passo 4
Concluir o valor do limite original.
- Como o limite do logaritmo é
, pela continuidade da exponencial segue que - Observação prática (fórmula rápida que é útil em provas): para constantes
e vale aqui com e obtemos .