Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{4 x}

Passo 1

O que o problema dá e o que pede.
  • É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{4x}.
  • O que se pede é o valor numérico desse limite quando x tende para +\infty.
  • Observação importante (sobre o que acontece com as partes): para x\to\infty a base \left(1-\dfrac{3}{x}\right) tende para 1 e o expoente 4x tende para +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia geral e justificativa das operações que usarei (sem calcular ainda).
  • Quando aparece uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}, um método standard é tomar o logaritmo natural da expressão e estudar o limite do expoente logarítmico. Isso porque a função exponencial é contínua: se L=\lim_{x\to\infty}f(x) existe e é positiva, então \lim_{x\to\infty}e^{\ln(f(x))}=e^{\lim_{x\to\infty}\ln(f(x))}.
  • Aqui definimos L=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{4x}.Se conseguirmos \displaystyle \lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right)=A finito, então L=e^{A}.
  • Antes de aplicar o logaritmo, é preciso verificar que para x suficientemente grande a base é positiva, para que o logaritmo exista: para x>3 tem-se 1-\dfrac{3}{x}>0. Como estamos no limite x\to\infty, podemos considerar apenas x>3. Logo a transformação é válida.

Passo 3

Calcular o limite do expoente logarítmico.
  • Vamos calcular \lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right).
  • Reescrevo a expressão para evidenciar uma forma conhecida: 4x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right) =4\cdot\frac{\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right)}{1/x}.
  • Agora uso o limite padrão \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.Explicando por que isso vale: pode-se aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente \dfrac{\ln(1+t)}{t} (numeração de formas 0/0); derivando numerador e denominador obtém-se \dfrac{1/(1+t)}{1} que tende para 1 quando t\to0. Também é o valor da derivada de \ln(1+t) em t=0.
  • Faça a correspondência com o nosso caso: tome t=-\dfrac{3}{x}. Quando x\to\infty tem t\to0. Aplicando o limite padrão obtemos \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}}=1.Isso implica \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{1/x}=-3.
  • Multiplicando por 4 vem \lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right)=4\cdot(-3)=-12.

Passo 4

Concluir o valor do limite original.
  • Como o limite do logaritmo é -12, pela continuidade da exponencial segue que \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{4x} =e^{-12}.
  • Observação prática (fórmula rápida que é útil em provas): para constantes a e b vale \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab},aqui com a=-3 e b=4 obtemos e^{4\cdot(-3)}=e^{-12}.

Resposta

e^{-12}

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